Question

【題目】已知橢圓：（）的右頂點(diǎn)為．左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于點(diǎn)（在第象限），直線的斜率為，與軸交于點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（、不與、重合），若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）或．

【解析】

（1）根據(jù)條件建立方程組進(jìn)行求解；

（2）先驗(yàn)證設(shè)直線的斜率不存在時(shí)是否符合題意，再設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立方程組，根與系數(shù)的關(guān)系 ，結(jié)合，可將（或的坐標(biāo)用表示，再利用點(diǎn)在橢圓上，求得，從而求得的方程.

解：（1），，由題意得

解得，

因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由得，即

若直線的斜率不存在，則，，不滿足

因此直線的斜率存在，設(shè)為，

由，得

恒成立

設(shè)，，則

由，，得

，從而

即

代入橢圓方程，得

解得，即

因此直線的方程為，即或．