已知橢圓的中心為坐標原點,短軸長為2,一條準線的方程為l:x=2.

(1)求橢圓的標準方程.

(2)設O為坐標原點,F是橢圓的右焦點,點M是直線l上的動點,過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值.

 

(1) +y2=1 (2)見解析

【解析】(1)∵橢圓C的短軸長為2,橢圓C的一條準線為l:x=2,

∴不妨設橢圓C的方程為+y2=1.

∴==2,即c=1.

∴橢圓C的方程為+y2=1.

(2)F(1,0),右準線為l:x=2.設N(x0,y0),

則直線FN的斜率為kFN=,直線ON的斜率為kON=.

∵FN⊥OM,∴直線OM的斜率為kOM=-.

∴直線OM的方程為y=-x,

點M的坐標為M(2,-).

∴直線MN的斜率為kMN=.

∵MN⊥ON,∴kMNkON=-1.

∴·=-1.

∴+2(x0-1)+x0(x0-2)=0,即+=2.

∴ON=為定值.

 

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(1)求橢圓C的方程和其“準圓”的方程.

(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點,過動點P作直線l1,l2使得l1,l2與橢圓C都只有一個交點,且l1,l2分別交其“準圓”于點M,N.

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②求證:|MN|為定值.

 

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(A)-2-<a<-2+

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(C)-≤a≤

(D)-<a<

 

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(A) (B) (C) (D)

 

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(A)x2+y2=2 (B)x2+y2=4

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(A)m>0,n>0(B)m>0,n<0

(C)m<0,n>0(D)m<0,n<0

 

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