【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng),其前項(xiàng)和為,對(duì)于任意正整數(shù),,都有.

(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足,且.

①求證數(shù)列為常數(shù)列.

②求數(shù)列的前項(xiàng)和.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)①見證明;②

【解析】

(Ⅰ)在中取求得.然后求出當(dāng)時(shí)的通項(xiàng)公式.

(Ⅱ)①將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入, 用構(gòu)造法得出,即得證.

②由①可知,,則等差數(shù)列項(xiàng)和.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;從而可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.

解:(Ⅰ)令,,則由,得

因?yàn)?/span>,所以,

當(dāng)時(shí),,且當(dāng)時(shí),此式也成立.

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為

(Ⅱ)①因?yàn)?/span>,所以(※),

又因?yàn)?/span>,由(※)式可得,且

將(※)式整理

兩邊各加上

可知恒成立

所以數(shù)列為常數(shù)列

②由①可知,,項(xiàng)和

可知,前兩項(xiàng)為正數(shù),從第三項(xiàng)開始為負(fù)數(shù),

時(shí),

時(shí),

時(shí),

經(jīng)檢驗(yàn),時(shí)也適合上式

所以,

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