Question

【題目】已知函數(shù) ， .
（Ⅰ）當(dāng) 在 處的切線與直線 垂直時，方程 有兩相異實數(shù)根，求 的取值范圍；
（Ⅱ）若冪函數(shù) 的圖象關(guān)于 軸對稱，求使不等式 在 上恒成立的 的取值范圍.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題設(shè)可得 ，令 ,
則 令 得 ,

		0
	遞減	極小值	遞增

，
且 有兩個不等實根 即 .
（Ⅱ）由題設(shè)有 ，令 ，
則 ，令 ，則
又 ， ， 在 在單調(diào)遞增，
又 ，
當(dāng) ，即 時， ，
所以 在 內(nèi)單調(diào)遞增， ，所以 ．
②當(dāng) ，即 時，由 在 內(nèi)單調(diào)遞增，
且 ，
使得 ，

		0
	遞減	極小值	遞增

所以 的最小值為 ，
又 ，所以 ，
因此，要使當(dāng) 時， 恒成立，只需 ，即 即可．
解得 ，此時由 ，可得 ．
以下求出a的取值范圍．
設(shè) ， ， 得 ，
所以 在 上單調(diào)遞減，從而 ，
綜上①②所述， 的取值范圍
【解析】(1)方程f(x) = g(x) 有兩相異的實數(shù)根等價于φ ( x ) = g ( x ) f ( x )由兩個零點。(2)令t ( x ) = g ( x ) f ( x )，求出t ( x ) 的導(dǎo)函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)對a分情況討論進而研究出函數(shù)的單調(diào)性從而確定出函數(shù)的最值進而得到a的取值范圍。
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．