Question

【題目】已知圓：，圓與圓關(guān)于直線：對(duì)稱(chēng).

（1）求圓的方程；

（2）過(guò)直線上的點(diǎn)分別作斜率為，4的兩條直線，，使得被圓截得的弦長(zhǎng)與被圓截得的弦長(zhǎng)相等.

（i）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（ii）過(guò)點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線分別與兩圓相交，判斷所得弦長(zhǎng)是否恒相等，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) （i）.（ii）恒相等.見(jiàn)解析

【解析】

(1)根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求得圓的圓心即可.

(2)由題,兩問(wèn)均可設(shè)與過(guò)點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線分別為,再由題意得到的距離與到的距離相等,列式求解與證明即可.

（1）設(shè)，因?yàn)閳A與圓關(guān)于直線：對(duì)稱(chēng)，，

則直線與直線垂直，中點(diǎn)在直線上，得，

解得，所以圓：.

（2）（i）設(shè)，的方程為，即；

的方程為，即.

因?yàn)?/span>被圓截得的弦長(zhǎng)與被圓截得的弦長(zhǎng)相等，且兩圓半徑相等，

所以到的距離與到的距離相等，即，

所以或.

由題意，到直線的距離，

所以不滿(mǎn)足題意，舍去，

故，點(diǎn)坐標(biāo)為.

（ii）過(guò)點(diǎn)任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交，所得弦長(zhǎng)恒相等.

證明如下：

當(dāng)的斜率等于0時(shí)，的斜率不存在，被圓截得的弦長(zhǎng)與被圓截得的弦長(zhǎng)都等于圓的直徑；

當(dāng)的斜率不存在，的斜率等于0時(shí)，與圓不相交，與圓不相交.

當(dāng)、的斜率存在且都不等于0，兩條直線分別與兩圓相交時(shí)，設(shè)、的方程分別為

，，即，.

因?yàn)?/span>到的距離，

到的距離，所以到的距離與到的距離相等.

因?yàn)閳A與圓的半徑相等，所以被圓截得的弦長(zhǎng)與被圓截得的弦長(zhǎng)恒相等.

綜上所述，過(guò)點(diǎn)任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交，所得弦長(zhǎng)恒相等.