Question

已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，以點(diǎn)A（，0）為圓心，為半徑的圓在x軸的上方與拋物線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)。

    （1）求證：點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)，且過(guò)F的橢圓上。

    （2）設(shè)點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，是否存在這樣的a，使得的等差中項(xiàng)？如果存在，求a的值；如果不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解析：（1）因?yàn)?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F（a，0），準(zhǔn)線(xiàn)為，

    所以 

    所以  以A為圓心，|FA| 為半徑的圓在x軸的上方的方程為

    ，（）

    由

    得 

      設(shè)M（），N（）（其中：()均為正數(shù)），則有

     

     

    又  拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等

    所以 

                                           

   

    因?yàn)辄c(diǎn)F、M、N均在⊙A上，

    所以，

       

    因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090729/20090729172102020.gif' width=233>，且

    所以點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)且過(guò)F的橢圓上

    （2）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的a，則有

    ，即

    設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），則有

   

    由，得

   

    化簡(jiǎn)，得

    所以，與矛盾

    故不存在滿(mǎn)足條件的，即不存在值，使得點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，且|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng)。