已知函數(shù)f（x）=loga（ax-1）（a＞0且a≠1）．求證：
（1）函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)；
（2）函數(shù)f（x）圖象上任意兩點連線的斜率都大于0．
分析：（1）由ax-1＞0得：ax＞1，a＞1時，函數(shù)f（x）的圖象在y軸的右側(cè)；當0＜a＜1時，x＜0，函數(shù)f（x）的圖象在y軸的左側(cè)．所以函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)．
（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）是函數(shù)f（x）圖象上任意兩點，且x1＜x2，則直線AB的斜率k=
y1-y2
x1-x2
，y1-y2=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)=loga
ax1-1
ax2-1
，再分a＞1和0＜a＜1兩種情況分別進行討論．
解答：證明：（1）由ax-1＞0得：ax＞1，
∴當a＞1時，x＞0，即函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
此時函數(shù)f（x）的圖象在y軸的右側(cè)；
當0＜a＜1時，x＜0，即函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0），
此時函數(shù)f（x）的圖象在y軸的左側(cè)．
∴函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)；

（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）是函數(shù)f（x）圖象上任意兩點，且x1＜x2，
則直線AB的斜率k=
y1-y2
x1-x2
，
y1-y2=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)=loga
ax1-1
ax2-1
，
當a＞1時，由（1）知0＜x1＜x2，∴1＜ax1＜ax2，
∴0＜ax1-1＜ax2-1，
∴0＜
ax1-1
ax2-1
＜1，∴y1-y2＜0，又x1-x2＜0，∴k＞0；
當0＜a＜1時，由（1）知x1＜x2＜0，∴ax1＞ax2＞1，
∴ax1-1＞ax2-1＞0，
∴
ax1-1
ax2-1
＞1，∴y1-y2＜0，又x1-x2＜0，∴k＞0．
∴函數(shù)f（x）圖象上任意兩點連線的斜率都大于0．
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時注意分類討論思想的合理應(yīng)用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案