Question

設(shè)(5x-

1

x

)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若

M

N

=32，則展開(kāi)式中x²的系數(shù)為_(kāi)_____．

Answer 1

∵二項(xiàng)式(5x-

1

x

)n的展開(kāi)式中，
令x=1得：各項(xiàng)系數(shù)之和M=4ⁿ，
又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，故N=2ⁿ，
又

M

N

=32，
∴2ⁿ=32，即n=5．
設(shè)二項(xiàng)式（5x-

1

x

）⁵的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1，
則T_r+1=

C

r5

•（5x）^5-r•（-1）^r•x-

1

2

r=（-1）^r•5^5-r•

C

r5

x5-

3

2

r，
令5-

3

2

r=2，解得：r=2，
∴展開(kāi)式中x²的系數(shù)為（-1）²•5^5-2•

C

25

=1250．
故答案為：1250．