Question

已知

n

=(2cosx，

3

sinx)，

m

=(cosx，2cosx)，設(shè)f（x）=

n

•

m

+a．
（1）若x∈[0，

π

2

]且a=l時(shí)，求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值時(shí)x的值；
（2）若x∈[0，π]且a=-1時(shí)，方程f（x）=b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，求b的取值范圍及x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及和差角公式化簡(jiǎn)已知函數(shù)可得f(x)=2sin(2x+ 

π

6

)+a+1
（1）代入a=1，可得f(x)=2sin(2x+

π

6

) +2，由x的范圍可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，從而找出最值及取最值的條件
（2）代入a=-1，可得f(x)=2sin(2x+

π

6

)，結(jié)合該函數(shù)在區(qū)間[o，π]的圖象把方程f（x）=b的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題

解答：解：f（x）=

n

•

m

+a=2cos2x+2

3

sinxcosx+a
=cos2x+1+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+a+1
（1）a=1，f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2
∵0≤x≤

π

2

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤ 

7π

6

當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

，f(x)max=4；x=

π

2

，f(x)min=1． 

（2）a=-1，f(x)=2sin(2x+

π

6

)
∵0≤x≤π，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，∴-1≤f（x）≤2
當(dāng)f（x）=b有兩不等的根，結(jié)合函數(shù)的圖象可得1＜b＜2或-2＜b＜1
b∈（-2，1）∪（1，2）；x1+x2=

π

3

，

4π

3

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積為切入點(diǎn)，實(shí)際考查三角函數(shù)y=Asin（wx+∅）（A＞0，w＞0）的性質(zhì)，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中運(yùn)用