Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是AB=2，BC= 的矩形，△PAB是等邊三角形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD
（Ⅰ）證明：BC⊥面PAB
（Ⅱ）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵側(cè)面PAB垂直于底面ABCD，且側(cè)面PAB與底面ABCD的交線是AB，
在矩形ABCD中，BC⊥AB，
∴BC⊥側(cè)面PAB．
解：（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)，過點P做PE⊥AB．垂足為E，連接EC，
∵側(cè)面PAB與底面ABCD的交線是AB，PE⊥AB．
∴PE⊥底面ABCD．于是EC為PC在底面ABCD內(nèi)的射影，
∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角，
在△PAB和△BEC中，易求得PE= ，
在Rt△PEC中，∠PCE=45°（12分）

【解析】（Ⅰ）根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合已知可證得BC⊥側(cè)面PAB；（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)，過點P做PE⊥AB．垂足為E，連接EC，根據(jù)線面所成角的定義可知∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角，在Rt△PEC中，求出此角即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和平面與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．