Question

定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有 成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的一個上界.

已知函數，.

（1）若函數為奇函數，求實數的值；

（2）在（1）的條件下，求函數在區(qū)間上的所有上界構成的集合；

（3）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1）-1;（2）;（3）

【解析】

試題分析：（1）因為為奇函數，所以根據奇函數的定義可得一個等式.根據等式在定義域內恒成立可求得的值，由于真數大于零，所以排除.即可得到結論.

（2）由（1）得到的值表示出函數g(x),根據函數的定義域可知函數在區(qū)間上單調遞增.所以上，.即.所以可得.即存在常數，都有.所以所有上界構成的集合.

（3）因為函數在上是以3為上界的有界函數，所以根據題意可得在上恒成立.所得的不等式，再通過分離變量求得的范圍.

試題解析：（1）因為函數為奇函數，

所以，即，

即，得，而當時不合題意，故. 4分

（2）由（1）得：，

下面證明函數在區(qū)間上單調遞增，

證明略. 6分

所以函數在區(qū)間上單調遞增，

所以函數在區(qū)間上的值域為，

所以，故函數在區(qū)間上的所有上界構成集合為. 8分

（3）由題意知，在上恒成立.

，.

在上恒成立.

10分

設，，，由得,

設，，

,

所以在上遞減，在上遞增， 12分

在上的最大值為，在上的最小值為 .

所以實數的取值范圍為. 14分

考點：1.函數的奇偶性.2.新定義的函數的性質.3.函數的最值的求法.4.分離變量的思想.