Question

【題目】已知橢圓： （）經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）動直線： （， ）交橢圓于、兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過點.若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在坐標(biāo)平面上存在一個定點滿足條件.

【解析】試題分析：

（1）由題設(shè)知a= ，所以 ，橢圓經(jīng)過點P（1， ），代入可得b=1，a=，由此可知所求橢圓方程

（2）首先求出動直線過（0，﹣）點．當(dāng)l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+（y+）2=；當(dāng)l與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+y2=1．由．由此入手可求出點T的坐標(biāo)．

解：

（1）∵橢圓： （）的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，

∴，∴

又∵橢圓經(jīng)過點，代入可得.

∴，故所求橢圓方程為.

（2）首先求出動直線過點.

當(dāng)與軸平行時，以為直徑的圓的方程：

當(dāng)與軸平行時，以為直徑的圓的方程：

由解得

即兩圓相切于點，因此，所求的點如果存在，只能是，事實上，點就是所求的點.

證明如下：

當(dāng)直線垂直于軸時，以為直徑的圓過點

當(dāng)直線不垂直于軸，可設(shè)直線：

由消去得：

記點、，則

又因為，

所以

所以，即以為直徑的圓恒過點

所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點滿足條件.