Question

【題目】已知⊙O：x2+y2=1和點(diǎn)M（4，2）．
（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)M向⊙O引切線l，求直線l的方程；
（Ⅱ）求以點(diǎn)M為圓心，且被直線y=2x﹣1截得的弦長(zhǎng)為4的⊙M的方程；
（Ⅲ）設(shè)P為（Ⅱ）中⊙M上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向⊙O引切線，切點(diǎn)為Q．試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R，使得 為定值？若存在，請(qǐng)舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由⊙O：x2+y2=1得到圓心O（0，0）半徑r=1，
設(shè)切線l方程為y﹣2=k（x﹣4），
易得 ，解得 ，
∴切線l方程為 ；
（Ⅱ）圓心M到直線y=2x﹣1的距離d= = ，
設(shè)圓的半徑為r，則 ，
∴⊙M的方程為（x﹣4）2+（y﹣2）2=9；
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R（a，b），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），相應(yīng)的定值為λ，
根據(jù)題意可得 ，
∴ ，
即x2+y2﹣1=λ2（x2+y2﹣2ax﹣2by+a2+b2）（*），
又點(diǎn)P在圓上∴（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，
即x2+y2=8x+4y﹣11，代入（*）式得：
8x+4y﹣12=λ2[（8﹣2a）x+（4﹣2b）y+（a2+b2﹣11）]，
若系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則等式恒成立，∴ ，
解得 ，
∴可以找到這樣的定點(diǎn)R，使得 為定值．
如點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，比值為 ；點(diǎn)R的坐標(biāo)為 時(shí)，比值為
【解析】（Ⅰ）找出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)切線方程的斜率為k，由M的坐標(biāo)和k寫出切線l的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d讓d等于半徑r得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程即可；（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出M到已知直線的距離d，然后利用勾股定理即可求出圓M的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的R點(diǎn)，設(shè)出R的坐標(biāo)，并設(shè)出P的坐標(biāo)，根據(jù)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑得到三角形OPQ為直角三角形，根據(jù)勾股定理表示出PQ的長(zhǎng)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出PR的長(zhǎng)，設(shè)PQ與PR之比等于λ，把PQ和PR的式子代入后兩邊平方化簡(jiǎn)得到一個(gè)關(guān)系式記作（*），又因?yàn)镻在⊙M上，所以把P的坐標(biāo)當(dāng)然到⊙M的方程中，化簡(jiǎn)后代入到（*）中，根據(jù)多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等即可求出R的坐標(biāo)和λ的值．