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【題目】過直線上的點作橢圓的切線，切點分別為，聯結．

（1）當點在直線上運動時，證明：直線恒過定點；

（2）當時，定點平分線段．

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

設．則橢圓過點的切線方程分別為．因為兩切線都過點，所以，．

這表明點均在直線①

上．由兩點決定一條直線知，式①就是直線的方程，其中滿足直線的方程．

（1）當在直線上運動時，可理解為取遍一切實數，相應的為．代

入式①消去得②

對一切恒成立．

變形可得對一切恒成立．

則．由此得直線恒過定點．

（2）當時，由式②知．解得．

代入式②得的方程為③

將此方程與橢圓方程聯立，消去得．

由此得截橢圓所得弦的中點橫坐標恰好為點的橫坐標，即．

代入式③可得弦中點縱坐標恰好為點的縱坐標，即．

這就是說，點平分線段．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若函數在區(qū)間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）設函數，其中.證明：的圖象在圖象的下方.

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【題目】已知元集合的一些子集滿足：每個子集至少含2個元素，每兩個不同子集的交集至多含2個元素，記這些子集的元素個數的立方和為.問：是否存在不小于3的正整數，使的最大值等于2009的方冪？說明你的理由．

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【題目】目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關信息，數據經過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（用頻率作為概率）.潛伏期低于平均數的患者，稱為“短潛伏者”，潛伏期不低于平均數的患者，稱為“長潛伏者”.

（1）求這500名患者潛伏期的平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表），并計算出這500名患者中“長潛伏者”的人數；

（2）為研究潛伏期與患者年齡的關系，以潛伏期是否高于平均數為標準進行分層抽樣，從上述500名患者中抽取300人，得到如下列聯表，請將列聯表補充完整，并根據列聯表判斷是否有97.5%的把握認為潛伏期長短與患者年齡有關；

短潛伏者

長潛伏者

合計

60歲及以上

90

60歲以下

140

合計

300

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】個人在某個節(jié)日期間互通電話問候，已知其中每個人至多打通了三個朋友家的電話，任何兩個人之間至多進行一次通話，且任何三個人中至少有兩人，其中一個人打通了另一個人家里的電話，求的最大值.

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【題目】定義一個“希望結合”（）簡稱如下：為一個非空集合，它滿足條件“若，則”。試問：在集合中，一共有多少個“希望子集合”？請說明理由。

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【題目】一個半徑為r的小球與一個半徑為R的大球在一個內壁棱長為l的正四面體容器內向各個方向自由運動。若，則該小球永遠不可能接觸到的容器內壁的面積是_________。

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【題目】某市環(huán)保部門為了讓全市居民認識到冬天燒煤取暖對空氣數值的影響，進而喚醒全市人民的環(huán)保節(jié)能意識.對該市取暖季燒煤天數與空氣數值不合格的天數進行統(tǒng)計分析，得出表數據：

（天）

（天）

（1）以統(tǒng)計數據為依據，求出關于的線性回歸方程；

（2）根據（1）求出的線性回歸方程，預測該市燒煤取暖的天數為時空氣數值不合格的天數.

參考公式：，.

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【題目】袋中裝著10個外形完全相同的小球，其中標有數字1的小球有1個，標有數字2的小球有2個，標有數字3的小球有3個，標有數字4的小球有4個.

現從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數字的8倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用表示取出的三個小球上的最大數字，求：

（1）取出的3個小球上的數字互不相同的概率；

（2）隨機變量的分布列；

（3）計算介于20分到40分之間的概率.

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