Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題（1）先求函數(shù)的定義域與導數(shù)，對是否在定義域內以及在定義域內與進行大小比較，從而確定函數(shù)的單調區(qū)間；（2）在（1）的條件下結合函數(shù)的單調性與零點存在定理對端點值或極值的正負進行限制，從而求出參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）函數(shù)定義域為，

，

①當，即時，

令，得，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，

令，得，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；

②當，即時，

令，得或，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，

令，得，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為；

③當，即時，恒成立，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；

（2）①當時，由（1）可知，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，在單調遞增，

所以在上的最小值為，

由于，

要使在上有且只有一個零點，

需滿足或，解得或，

所以當或時，在上有且只有一個零點；

②當時，由（1）可知，函數(shù)在上單調遞增，

且，，

所以當時，在上有且只有一個零點；

③當時，由（1）可知，函數(shù)在內單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

又因為，所以當時，總有，

因為，

所以，

所以在區(qū)間內必有零點，

又因為在內單調遞增，

從而當時，在上有且只有一個零點，

綜上所述，當或或時，在上有且只有一個零點.