Question

（本小題滿分13分）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點.

（1）若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值.

（2）是否存在經過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得|F2C|＝|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）最小值3，最大值4；（2）不存在

【解析】

試題分析：（1）將數量積轉化為坐標表示，利用坐標的有界性求出最值；（2）設出直線方程，根據|F2C|＝|F2D|，可知F2在弦CD的中垂線上，利用中點和斜率關系，寫出中垂線方程，代入F2點即可判斷.或者根據焦半徑公式判斷更為簡潔.

試題解析：（1）易知a＝，b＝2，c＝1，∴F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0）

設P（x，y），則

＝（－1－x，－y）·（1－x，－y）

＝x2＋y2－1

＝x2＋4－x2－1

＝x2＋3

∵x2∈[0，5]，

當x＝0，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值3；

當x＝±，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值4.

（2）法一、假設存在滿足條件的直線l，易知點A（5，0）在橢圓外部，當直線斜率不存在時，直線l與橢圓無交點.

所以滿足條件的直線斜率存在，設為k

則直線方程為y＝k（x－5）

由方程組

得：（5k2＋4）x2－50k2x＋125k2－20＝0

依題意，△＝20（16－80k2）＞0

得：

當時，設交點為C（x1，y1），D（x2，y2），CD中點為R（x0，y0）

則x1＋x2＝，x0＝

∴y0＝k（x0－5）＝k（－5）＝

又|F2C|＝|F2D|，有F2R⊥l，即＝－1

即＝－1

即20k2＝20k2－4，

該等式不成立，所以滿足條件的直線l不存在.

法二、設交點為C（x1，y1），D（x2，y2），

設它們到右準線x＝的距離分別為d1、d2，

根據橢圓第二定義，有

因為|F2C|＝|F2D|，故d1＝d2，于是x1＝x2，

于是CD所在直線l⊥x軸

又直線l經過A（5，0）點，于是l的方程為x＝5

但x＝5與橢圓無公共點，所以，滿足條件的直線不存在.

考點：橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，平面向量的數量積，最值，存在性問題