Question

【題目】如圖甲，在直角梯形中，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2BC=4，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥CD，垂足為E，現(xiàn)將ΔADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.取AD的中點(diǎn)F，連接BF，CF，EF，如圖乙。

(1)求證:BC⊥平面DEC；

(2)求二面角C-BF-E的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）先證明DE⊥平面ABCE 可得DE⊥BC，結(jié)合BC⊥EC，可證BC⊥平面DEC；

（2）以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA，EC，ED為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系E-xyz，求出平面EFB和平面BCF的一個(gè)法向量，接著代入公式，可求得二面角C-BF-E的余弦值.

(1)證明：如圖，∵DE⊥EC，DE⊥AE，

∴DE⊥平面ABCE，

又∵BC平面ABCE，

∴DE⊥BC，

又∵BC⊥EC，DEEC=E，

∴BC⊥平面DEC.

(2)如圖，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA，EC，ED為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系E-xyz，

∴E(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(1，0，1)

設(shè)平面EFB的法向量

由，

所以有

∴取，得平面EFB的一個(gè)法向量

設(shè)平面BCF的法向量為

由，

所以有

∴取，得平面BCF的一個(gè)法向量

設(shè)二面角C-BF-E的大小為

則.