【題目】已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否具有唯一零點，說明理由：

（2）已知向量，，，證明在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.

（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）是，詳見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）利用分段函數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)論；

（2）兩個向量的數(shù)量積共公式以及三角恒等變換，化簡的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；

（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求得的范圍．

（1）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，理由如下：

當(dāng)時，有，且當(dāng)時，有；

當(dāng)時，是增函數(shù)，有，

故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.

（2）由向量，，，

所以，，

令，，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，使得，

故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.

（3）由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，該二次函數(shù)的對稱軸為，

①當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，

只需，即，解得，

所以實數(shù)的取值范圍為.

②當(dāng)，即時，若使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有零點，

則，解得或，

所以，，

i當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，即，符合題意，

ii當(dāng)時，若使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，只需，

即，解得，

所以實數(shù)的取值范圍為或.

③當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，

當(dāng)時，只需，即，解得，

當(dāng)時，令，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間上具有唯一零點，符合題意，

所以實數(shù)的取值范圍為.

綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是國家統(tǒng)計局給出的2014年至2018年我國城鄉(xiāng)就業(yè)人員數(shù)量的統(tǒng)計圖表，結(jié)合這張圖表，以下說法錯誤的是（ ）

A.2017年就業(yè)人員數(shù)量是最多的

B.2017年至2018年就業(yè)人員數(shù)量呈遞減狀態(tài)

C.2016年至2017年就業(yè)人員數(shù)量與前兩年比較，增加速度減緩

D.2018年就業(yè)人員數(shù)量比2014年就業(yè)人員數(shù)量增長超過400萬人

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】公元263年左右，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積求圓周率，他從單位圓內(nèi)接正六邊形算起，令邊數(shù)一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐個算出正六邊形，正十二邊形，正二十四邊形，…，正一百九十二邊形，…的面積，這些數(shù)值逐步地逼近圓面積，劉徽算到了正一百九十二邊形，這時候的近似值是3.141024，劉徽稱這個方法為“割圓術(shù)”，并且把“割圓術(shù)”的特點概括為“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.劉徽這種想法的可貴之處在于用已知的、可求的來逼近未知的、要求的，用有限來逼近無窮，這種思想極其重要，對后世產(chǎn)生了巨大影響.按照上面“割圓術(shù)”，用正二十四邊形來估算圓周率，則的近似值是( )（精確到）.（參考數(shù)據(jù)）

A.3.14B.3.11C.3.10D.3.05

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線l與橢圓C交于P，Q兩點，且點M滿足.

（1）若點，求直線的方程；

（2）若直線l過點且不與x軸重合，過點M作垂直于l的直線與y軸交于點，求實數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C過點，F為C的右焦點，⊙F的方程為

（1）求C的方程；

（2）若直線與⊙O相切，與⊙F交于M、N兩點，與C交于P、Q兩點，其中M、P在第一象限，記⊙O的面積為，求取最大值時，直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足：，，.

（1）求的值；

（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出其通項公式；

（3）對任意的，，在數(shù)列中是否存在連續(xù)的項構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，寫出這項，并證明這項構(gòu)成等差數(shù)列：若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】兩城市和相距，現(xiàn)計劃在兩城市外以為直徑的半圓上選擇一點建造垃圾處理場，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關(guān)，對城和城的總影響度為城和城的影響度之和，記點到城的距離為，建在處的垃圾處理場對城和城的總影響度為，統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理場對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4，對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為，當(dāng)垃圾處理場建在的中點時，對城和城的總影響度為0.065；

（1）將表示成的函數(shù)；

（2）判斷上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理場對城和城的總影響度最小?若存在，求出該點到城的距離；若不存在，說明理由；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)是的反函數(shù).當(dāng)時，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素，求實數(shù)的值；

（3）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為，若，則稱是“數(shù)列”.

（1）若是“數(shù)列”，且，，，，求的取值范圍；

（2）若是等差數(shù)列，首項為，公差為，且，判斷是否為“數(shù)列”；

（3）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，若數(shù)列與都是“數(shù)列”，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案