Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在整數(shù)，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）符合要求的整數(shù)是或.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的對稱軸，由于y=|f（x）|在[﹣1，0]上是減函數(shù)，則討論區(qū)間在對稱軸的右邊，且f（0）不小于0，區(qū)間在對稱軸的左邊，且f（0）不大于0．解出它們即可；

（2）假設(shè)存在整數(shù)a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．則f（a）=a，f（b）=a，a≤f（）≤b，由f（a）=f（b）=a，解出整數(shù)a，b，再代入不等式檢驗即可．

試題解析：

（1）令，則.

當(dāng)，即時， 恒成立，

所以.

因為在上是減函數(shù)，

所以，解得，

所以.

由，解得或.

當(dāng)時， 的圖象對稱軸，

且方程的兩根均為正，

此時在為減函數(shù)，所以符合條件.

當(dāng)時， 的圖象對稱軸，

且方程的根為一正一負(fù)，

要使在單調(diào)遞減，則，解得.

綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.

（2）假設(shè)存在整數(shù)，使的解集恰好是，則

①若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則， 且，

即

作差得到，代回得到： ，即，由于均為整數(shù)，

故， ， 或， ， ，經(jīng)檢驗均不滿足要求；

②若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則， 且，

即

作差得到，代回得到： ，即，由于均為整數(shù)，

故， ， 或， ， ，經(jīng)檢驗均不滿足要求；

③若函數(shù)在上不單調(diào)，則， 且，

即作差得到，代回得到： ，即，由于均為整數(shù)，

故， ， 或， ， ，，經(jīng)檢驗均滿足要求；

綜上，符合要求的整數(shù)是或