Question

設函數f(x)＝－ax2，a∈R.

(1)當a＝2時，求函數f(x)的零點；

(2)當a>0時，求證：函數f(x)在(0，＋∞)內有且僅有一個零點；

(3)若函數f(x)有四個不同的零點，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）0，x＝，x＝，x＝（2）見解析（3）(1，＋∞)

【解析】(1)【解析】
當x≥0時，由f(x)＝0，得－2x2＝0，即x(2x2＋4x－1)＝0，解得x＝0或x＝ (舍負)；

當x<0時，由f(x)＝0，得－2x2＝0，

即x(2x2＋4x＋1)＝0(x≠－2)，解得x＝.

綜上所述，函數f(x)的零點為0，x＝，x＝，x＝.

(2)證明：當a>0且x>0時，由f(x)＝0，得－ax2＝0，即ax2＋2ax－1＝0.

記g(x)＝ax2＋2ax－1，則函數g(x)的圖象是開口向上的拋物線．

又g(0)＝－1<0，所以函數g(x)在(0，＋∞)內有且僅有一個零點，

即函數f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內有且僅有一個零點．

(3)【解析】
易知0是函數f(x)的零點．

對于x>0，由(2)知，當a>0時，函數f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內有且僅有一個零點；

當a≤0時，g(x)＝ax2＋2ax－1<0恒成立，因此函數f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內無零點．

于是，要使函數f(x)有四個不同的零點，函數f(x)在區(qū)間(－∞，0)內就要有兩個不同的零點．

當x<0時，由f(x)＝0，得－ax2＝0，即ax2＋2ax＋1＝0(x≠－2)．①

因為a＝0不符合題意，所以①式可化為x2＋2x＋＝0(x≠－2)，即x2＋2x＝－＝0.

作出函數h(x)＝x2＋2x(x<0)的圖象便知－1<－<0，得a>1，

綜上所述，a的取值范圍是(1，＋∞)．