【題目】在正方體中,、分別為、的中點(diǎn),,如圖.

1)若交平面點(diǎn),證明:、三點(diǎn)共線;

2)線段上是否存在點(diǎn),使得平面平面,若存在確定的位置,若不存在說明理由.

【答案】1)證明見解析;(2)存在,且.

【解析】

1)先得出為平面與平面的交線,然后說明點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn),即可得出、、三點(diǎn)共線;

2)設(shè),過點(diǎn)于點(diǎn),然后證明出平面平面,再確定出點(diǎn)上的位置即可.

1,平面,平面,所以,點(diǎn)是平面和平面的一個(gè)公共點(diǎn),同理可知,點(diǎn)也是平面和平面的公共點(diǎn),則平面和平面的交線為,

平面,平面,所以,點(diǎn)也是平面和平面的公共點(diǎn),由公理三可知,,因此,、三點(diǎn)共線;

2)如下圖所示:

設(shè),過點(diǎn)于點(diǎn),

下面證明平面平面.

分別為、的中點(diǎn),,

平面平面,平面.

平面,平面,平面

,、平面,因此,平面平面.

下面來確定點(diǎn)的位置:

、分別為、的中點(diǎn),所以,,且,則點(diǎn)的中點(diǎn),

易知,即,又,所以,四邊形為平行四邊形,,

四邊形為正方形,且,則的中點(diǎn),所以,點(diǎn)的中點(diǎn),,

因此,線段上是否存在點(diǎn),且時(shí),平面平面.

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1)將2020年該產(chǎn)品的利潤(萬元)表示為年促銷費(fèi)用(萬元)的函數(shù);

2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤最大?

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