【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD是直角梯形,且AD∥BC,AD⊥CD,∠ABC=60°,BC=2AD=2,PC=3,△PAB是正三角形.
(1)求證:AB⊥PC;
(2)求二面角P﹣CD﹣B的平面角的正切值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)要證線線垂直,先證線面垂直,由于是正三角形,取中點(diǎn),則有,從而只要再證即可證;
(2)關(guān)鍵是作二面角的平面角,由(1)知平面平面,因此只要作作PO⊥CE,PH⊥CD,連結(jié)OH,就可得∠PHO為二面角P﹣CD﹣B的平面角,接著就是計(jì)算出這個(gè)角即可.
(1)證明:取AB中點(diǎn)E,連結(jié)PE,CE,
易證△ABC為正三角形,E為AB中點(diǎn),∴CE⊥AB,
∵△ABP為正三角形,E為AB中點(diǎn),∴PE⊥AB,
∴AB⊥平面PCE,
∴AB⊥PC.
(2)解:過(guò)P點(diǎn)作PO⊥CE,PH⊥CD,連結(jié)OH,
∵AB⊥平面PCE,∴平面ABCD⊥平面PCE,
∵PO⊥CE,∴PO⊥平面ABCD,
∵PH⊥CD,∴OH⊥CD,
∴∠PHO為二面角P﹣CD﹣B的平面角,
四邊形ABCD是直角梯形,且AD∥BC,AD⊥CD,
∠ABC=60°,BC=2AD=2,PC=3,△PAB是正三角形.
AB=2,PA=PB=2,PE=CE,∠PCE=30°,
所以PO,OC,∠ECD=60°,OH,
三角形POH是直角三角形,∠POH=90°,
∴.
∴二面角P﹣CD﹣B的平面角的正切值:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),且與定直線相切.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的任一條直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn),試探究在軸上是否存在定點(diǎn)(異于點(diǎn)),使得?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r,某調(diào)查機(jī)構(gòu)得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色學(xué)校(百個(gè)) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(Ⅰ)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計(jì)算與的相關(guān)系數(shù),并說(shuō)明與的線性相關(guān)性強(qiáng)弱(已知:,則認(rèn)為與線性相關(guān)性很強(qiáng);,則認(rèn)為與線性相關(guān)性一般;,則認(rèn)為與線性相關(guān)性較弱);
(Ⅱ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)地區(qū)2019年足球特色學(xué)校的個(gè)數(shù)(精確到個(gè))
參考公式:,,,,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)P(x,y)不是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)”為;
當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)“為它自身,平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題:
①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn),則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A
②單位圓的“伴隨曲線”是它自身;
③若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則其“伴隨曲線”關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.
其中的真命題是_____________(寫(xiě)出所有真命題的序列).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
1當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
2若是R上的單調(diào)遞增函數(shù),求a的取值范圍;
3若函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù),存在唯一的實(shí)數(shù),使得成立,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的短軸長(zhǎng)為,離心率為,過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn),.線段的垂直平分線交軸于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與P到直線的距離和的最小值是( )
A.B.C.3D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=,,∠ADC=,PA⊥平面ABCD且PA=.
(1)求直線AD到平面PBC的距離;
(2)求出點(diǎn)A到直線PC的距離;
(3)在線段AD上是否存在一點(diǎn)F,使點(diǎn)A到平面PCF的距離為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,,為全等的正三角形,且平面平面,平面平面,.
(1)證明:;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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