Question

【題目】已知拋物線y2=2px（p＞0），F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過點(diǎn)（4，0）作垂直于x軸的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，△ABF的周長(zhǎng)為18．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線上的定點(diǎn) 作兩條關(guān)于直線y=p對(duì)稱的直線分別交拋物線于C，D兩點(diǎn)，連接CD，判斷直線CD的斜率是否為定值？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：依據(jù)題意，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

所以△ABF的周長(zhǎng)為： ，

即 ，∴ ，

故拋物線方程為y2=4x．

（2）解：由（1）知M（1，2），由題意知MC，MD兩直線關(guān)于直線y=2對(duì)稱，則直線MC，MD的傾斜角互補(bǔ)，

顯然斜率均存在且不為0，設(shè)kMC=k，則kMD=﹣k，此時(shí)直線MC的方程為y﹣2=k（x﹣1）， 將其代入y2=4x，并整理得： ，

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則由韋達(dá)定理可得： ，

所以 ，同理，將上式中的k換成﹣k，得 ，

所以 ，

所以直線CD的斜率恒為﹣1．

【解析】1、根據(jù)題意求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)再利用△ABF的周長(zhǎng)得到關(guān)于p的方程即得結(jié)果。
2、 由題意可設(shè)直線MC的斜率為k，MD的斜率為-k，可求得直線MC、MD的方程再與拋物線的方程聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的斜率，從而可得到結(jié)論：直線CD的斜率恒為﹣1。