Question

【題目】正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，（為常數(shù)）.

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）若，且，對任意，都有，求的值；

（3）若，是否存在正整數(shù)，且，使得，，三項(xiàng)成等比數(shù)列？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，說明見解析.

【解析】

（1）利用，及作差可證;

（2）對進(jìn)行討論，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得；

（3）先假設(shè)存在，得出，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)證明，從而得出結(jié)論.

（1）因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，

兩式相減可得，即；

因?yàn)?/span>，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

（2）因?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

所以.

（3）當(dāng)時(shí)，由（1）可得，假設(shè)，，三項(xiàng)成等比數(shù)列，

則，，

設(shè)，所以，

所以，

記是開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為

且，

所以

綜上不存在正整數(shù)，且，使得，，三項(xiàng)成等比數(shù)列.