Question

【題目】函數(shù)f(x)對(duì)任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0時(shí)，恒有f(x)<1.

（1）試判斷f(x)在R上的單調(diào)性，并加以證明；

（2）若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2

（3）若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f(x)在R上為減函數(shù).證明見解析

（2）

（3）

【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化證明f(x)在R上為減函數(shù)。

利用已知條件通過(guò)f(3)＝4，求出，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式f(a2＋a－5)<2。

根據(jù)題意關(guān)于的不等式在上有解，法一，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為有解，即有解，利用換元法，令，將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式有解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可；法二，分離參數(shù)，得到，利用換元法，令，得，結(jié)合對(duì)號(hào)函數(shù)的性質(zhì)即可解出實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：(1) f(x)在R上為減函數(shù).

證明：設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，

∴x2－x1＞0，∵當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)<1

∴f(x2－x1)<1.

f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1<0f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在R上為減函數(shù).

(2)∵m，n∈R，不妨設(shè)m＝n＝1，

∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1f(2)＝2f(1)－1，

f(3)＝4f(2＋1)＝4f(2)＋f(1)－1＝43f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，

∵f(x)在R上為減函數(shù)，

∴a2＋a－5>1a＜－3或a>2，即a∈

(3)法一：由題意得：，因?yàn)?/span>在R上為減函數(shù).

，即，

令，則，即在上有解，

設(shè)，因?yàn)?/span> ，結(jié)合圖像可知：

，即，解得：

法二：由題意得：，因?yàn)?/span>在R上為減函數(shù).

，即，

令，則，在上有解，

由對(duì)勾函數(shù)可知