Question

（2013•汕頭二模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）的連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）試根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C的形狀；
（3）當(dāng)λ=2時(shí)，對(duì)于平面上的定點(diǎn)E(-

3

，0)，F(xiàn)(

3

，0)，試探究軌跡C上是否存在點(diǎn)P，使得∠EPF=120°，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）寫出過PM與PN的直線的斜率，直接利用斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）根據(jù)λ的不同取值，結(jié)合圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程逐一討論軌跡C的形狀；
（3）當(dāng)λ=2時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且判出E，F(xiàn)恰為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)P存在，結(jié)合正余弦定理，利用三角形PEF的面積相等求解P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解、（1）由題設(shè)可知；PM，PN的斜率存在且不為0，
則由k_PM•k_PN=λ得：

y

x+1

•

y

x-1

=λ，即x2-

y2

λ

=1  (y≠0)．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2-

y2

λ

=1  (y≠0)；
（2）討論如下：
①當(dāng)λ＞0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上的雙曲線（除去頂點(diǎn)）
②當(dāng)-1＜λ＜0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓（除去長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)）
③當(dāng)λ=-1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓（除去點(diǎn)（-1，0），（1，0））
④當(dāng)λ＜-1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（除去短軸兩個(gè)端點(diǎn)）；
（3）當(dāng)λ=2時(shí)，軌跡C的方程為x2-

y2

2

=1  (y≠0)，顯然定點(diǎn)E、F為其左右焦點(diǎn)．
假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得∠EPF=120°，記∠EPF=θ，
設(shè)PE=m，PF=n，EF=2

3

，
那么在△EPF中：由|m-n|=2，得m²+n²-2mn=4，
(2

3

)2=m2+n2-2mncosθ，
兩式聯(lián)立得：2mn（1-cosθ）=8，所以mn=

4

1-cosθ

=

4

1-cos120°

=

8

3

．

S△EPF=

1

2

mnsin120°=

1

2

×

8

3

×

3

2

=

2 3

3

 
再設(shè)P（x_P，y_P）
又因?yàn)?span id="pdc57lo" class="MathJye">S△EPF=

1

2

|EF||yP|=

1

2

×2

3

|yP|=

2 3

3

所以|yP|=

2

3

故yP=±

2

3

代入橢圓的方程可得：xP2-

(± 2 3 )2

2

=1
所以xP=±

11

3

，所以滿足題意的點(diǎn)P有四個(gè)，坐標(biāo)分別為：(

11

3

，

2

3

)，(-

11

3

，

2

3

)，(

11

3

，-

2

3

)，(-

11

3

，-

2

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，涉及圓錐曲線上的一點(diǎn)和圓錐曲線兩個(gè)焦點(diǎn)連線的問題，結(jié)合正余弦定理及圓錐曲線的定義進(jìn)行求解是常用的方法，此題是中檔題．