【題目】已知橢圓：的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，，是橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線，的傾斜角分別為，，且.證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，

【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn).

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及橢圓的離心率公式，解方程可得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）設(shè)，，判斷直線的斜率不存在不成立，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0，以及根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合直線方程和恒過定點(diǎn)的求法，可得結(jié)果.

解（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，

則，

由題意得

解得.∴.

又，∴

∴

∴所求橢圓的方程為：

（2）由題可知直線的斜率存在，則設(shè)直線方程為，，坐標(biāo)為，

解方程組

∴

∴，

又由，∴，

設(shè)直線，斜率分別為，，則

∴

即：

∴

∴

化簡(jiǎn)得：

得：，或

當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)（-2，0），不合題意（舍去）

當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)，

∴直線恒過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在上不單調(diào)，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，記的兩個(gè)零點(diǎn)是

①求a的取值范圍；

②證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.

B.若把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)

C.若把的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在上是增函數(shù)

D.，若恒成立，則的最小值為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，.

（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；

（Ⅱ）若曲線過點(diǎn)的切線有兩條，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】年，某省將實(shí)施新高考，年秋季入學(xué)的高一學(xué)生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各分，另外，考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物門科目中自選門參加考試（選），每科目滿分分.為了應(yīng)對(duì)新高考，某高中從高一年級(jí)名學(xué)生（其中男生人，女生人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.

（1）已知抽取的n名學(xué)生中含女生人，求n的值及抽取到的男生人數(shù)；

（2）學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個(gè)科目，為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況，對(duì)在（1）的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目），下面表格是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表，請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；

選擇“物理”

選擇“歷史”

總計(jì)

男生

10

女生

30

總計(jì)

（3）在抽取到的名女生中，在（2）的條件下，按選擇的科目進(jìn)行分層抽樣，抽出名女生，了解女生對(duì)“歷史”的選課意向情況，在這名女生中再抽取人，求這人中選擇“歷史”的人數(shù)為人的概率.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“支付寶捐步”已經(jīng)成為當(dāng)下最熱門的健身方式，為了了解是否使用支付寶捐步與年齡有關(guān)，研究人員隨機(jī)抽取了5000名使用支付寶的人員進(jìn)行調(diào)查，所得情況如下表所示：

50歲以上

50歲以下

使用支付寶捐步

1000

1000

不使用支付寶捐步

2500

500

（1）由上表數(shù)據(jù)，能否有99.9%的把握認(rèn)為是否使用支付寶捐步與年齡有關(guān)？

（2）55歲的老王在了解了捐步功能以后開啟了自己的捐步計(jì)劃，可知其在捐步的前5天，捐步的步數(shù)與天數(shù)呈線性相關(guān)．

第x天

第1天

第2天

第3天

第4天

第5天

步數(shù)

4000

4200

4300

5000

5500

（i）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程；

（ii）記由（i）中回歸方程得到的預(yù)測(cè)步數(shù)為，若從5天中任取3天，記的天數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望．

附參考公式與數(shù)據(jù)：，；K2=；

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，且取相等的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），設(shè)點(diǎn)．

(Ⅰ)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線的參數(shù)方程化為普通方程；

(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值．

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