Question

已知函數(shù)，
（1）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，-1）成中心對(duì)稱圖形；
（2）當(dāng)x∈[a+1，a+2]時(shí)，求證：f（x）∈；
（3）我們利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{xn}，方法如下：對(duì)于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，xn=f（xn-1），…在上述構(gòu)造數(shù)列的過程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定義域中，構(gòu)造數(shù)列的過程將繼續(xù)下去；如果xi不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程停止．
（i）如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列{xn}，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ii）如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無窮數(shù)列{xn}，求實(shí)數(shù)a的值

Answer 1

解：（1）設(shè)P（x_o，y_o）是函數(shù)y=f（x）圖象上一點(diǎn)，則y_o=，
點(diǎn)P關(guān)于（a，-1）的對(duì)稱點(diǎn)P'（2a-x0，-2-y0）．
∵
∴-2-y0=f（2a-x0）．即P′點(diǎn)在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
所以，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，-1）成中心對(duì)稱圖形.
又x∈[a+1，a+2]，∴（x-a-1）（x-a-2）≤0.2（a-x）²＞0，
∴

（3）（i）根據(jù)題意，只需x≠a時(shí)，f（x）=x有解.有解，
即x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解
．∴①△＞0或②△=0并且x≠a，
①由△＞0得a＜-3或a＞1，②由△=0得a=-3或a=1，
此時(shí)，x分別為-2或0．符合題意．綜上，a≤-3或a≥1．
（ii）根據(jù)題意，知：x≠a時(shí)，無解，
即x≠a時(shí)，（1+a）x=a2+a-1無解，由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
所以，對(duì)于任意x∈R．（1+a）x=a2+a-1無解．∴a=-1．
分析：（1）設(shè)出P為函數(shù)上任意一點(diǎn)，然后將P的坐標(biāo)代入已知函數(shù)，寫出P關(guān)于（a，-1）的對(duì)稱點(diǎn)P'（2a-x0，-2-y0）．然后代入f（x）進(jìn)行驗(yàn)證關(guān)于（a，-1）成中心對(duì)稱圖形．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，把f（x）代入題目，然后驗(yàn)證即可證明
（3）（i）根據(jù)題意，把f（x）=x有解轉(zhuǎn)化為△＞0或△=0兩種情況，并進(jìn)行分析．
（ii）出x≠a時(shí)，（1+a）x=a2+a-1無解，此時(shí)即可求出a的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，通過對(duì)實(shí)際問題的分析，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型從而解決問題．本題需要把點(diǎn)P關(guān)于（a，-1）的對(duì)稱點(diǎn)P'（2a-x0，-2-y0）代入函數(shù)．進(jìn)行化簡(jiǎn)．并注明取值范圍．需要對(duì)知識(shí)熟練的掌握并應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．