Question

已知方程x³+ax²+bx+c=0的三個(gè)實(shí)根可分別作為一橢圓，一雙曲線、一拋物線的離心率，則a²+b²的取值范圍是（　�。�

• A．(

  5

  ，+∞)
• B．[

  5

  ，+∞)
• C．[5，+∞）
• D．（5，+∞）

Answer 1

分析：利用拋物線的離心率為1，求出c=-1-a-b，分解函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)一次因式與一個(gè)二次因式的乘積，通過(guò)函數(shù)的零點(diǎn)即可推出a，b的關(guān)系利用線性規(guī)劃求解a²+b²的取值范圍即可．

解答：解：設(shè)f（x）=x³+ax²+bx+c，由拋物線的離心率為1，可知f（1）=1+a+b+c=0，故c=-1-a-b，
所以f（x）=（x-1）[x²+（1+a）x+a+b+1]的另外兩個(gè)根分別是一個(gè)橢圓一個(gè)雙曲線的離心率，
故g（x）=x²+（1+a）x+a+b+1，有兩個(gè)分別屬于（0，1），（1，+∞）的零點(diǎn)，
故有g(shù)（0）＞0，g（1）＜0，即a+b+1＞0且2a+b+3＜0，
利用線性規(guī)劃的知識(shí)，可確定a²+b²的取值范圍是（5，+∞）．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，考查計(jì)算能力．