【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;

(Ⅱ)若恒成立,求的取值范圍;

(Ⅲ)證明:總存在,使得當(dāng),恒有.

【答案】123)見解析

【解析】試題分析:

(Ⅰ)求出導(dǎo)數(shù), 就是切線的斜率,由點斜式寫出直線方程;

(Ⅱ)不等式可化為,因此只要求的最大值,即得結(jié)論.這可利用導(dǎo)數(shù)的知識求解.

(Ⅲ) ,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)知識求出的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為,注意到,因此當(dāng)時,可取即符合題意;當(dāng)時,用放縮法,由(Ⅱ),即,因此有,由,此時有,取,由,因此是遞減,滿足題意.

試題解析:

的定義域為

(Ⅰ)當(dāng)時, ,

, ,

所以,所求切線方程為

(Ⅱ)因為,所以. .

,則,

得,

所以, , , , ,

所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是,

所以,所以.

(III)

, ,

所以, , , ,

所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是

因為,所以,

當(dāng)時,存在,使得當(dāng),恒有,即,

當(dāng)時,由(Ⅱ)知, ,即,

所以,

得, ,所以.

,存在,使得當(dāng),恒有,即.

綜合上所述,總存在,使得當(dāng),恒有

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)a>0且a≠1,如果函數(shù)y=a2x+2ax﹣1在[﹣1,1]上的最大值為7,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知多面體如圖所示,底面為矩形,其中平面, .若, 分別是, 的中點,其中

(Ⅰ)證明:

(Ⅱ)若二面角的余弦值為,求的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(m>0)的離心率為,A,B分別為橢圓的左、右頂點,F(xiàn)是其右焦點,P是橢圓C上異于A、B的動點.

(1)求m的值及橢圓的準(zhǔn)線方程;

(2)設(shè)過點B且與x軸的垂直的直線交AP于點D,當(dāng)直線AP繞點A轉(zhuǎn)動時,試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系,并加以證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c(b,c∈R),給出如下四個命題:①若c=0,則f(x)為奇函數(shù);②若b=0,則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);③函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(0,c)成中心對稱圖形;④關(guān)于x的方程f(x)=0最多有兩個實根.其中正確的命題

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校為研究學(xué)生語言學(xué)科的學(xué)習(xí)情況,現(xiàn)對高二200名學(xué)生英語和語文某次考試成績進行抽樣分析. 將200名學(xué)生編號為001,002,…,200,采用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取10名學(xué)生,將10名學(xué)生的兩科成績(單位:分)繪成折線圖如下:

(Ⅰ)若第一段抽取的學(xué)生編號是006,寫出第五段抽取的學(xué)生編號;

(Ⅱ)在這兩科成績差超過20分的學(xué)生中隨機抽取2人進行訪談,求2人成績均是語文成績高于英語成績的概率;

(Ⅲ)根據(jù)折線圖,比較該校高二年級學(xué)生的語文和英語兩科成績,寫出你的結(jié)論和理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若無窮數(shù)列滿足: ,對于,都有(其中為常數(shù)),則稱具有性質(zhì)“”.

(Ⅰ)若具有性質(zhì)“”,且, ,求;

(Ⅱ)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列, , , ,判斷是否具有性質(zhì)“”,并說明理由;

(Ⅲ)設(shè)既具有性質(zhì)“”,又具有性質(zhì)“”,其中, 互質(zhì),求證: 具有性質(zhì)“”.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】“城中觀海”是近年來國內(nèi)很多大中型城市內(nèi)澇所致的現(xiàn)象,究其原因,除天氣因素、城市規(guī)劃等原因外,城市垃圾雜物也是造成內(nèi)澇的一個重要原因.暴雨會沖刷城市的垃圾雜物一起進入下水道,據(jù)統(tǒng)計,在不考慮其它因素的條件下,某段下水道的排水量V(單位:立方米/小時)是雜物垃圾密度x(單位:千克/立方米)的函數(shù).當(dāng)下水道的垃圾雜物密度達到2千克/立方米時,會造成堵塞,此時排水量為0;當(dāng)垃圾雜物密度不超過0.2千克/立方米時,排水量是90立方米/小時;研究表明,0.2≤x≤2時,排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數(shù).
(1)當(dāng)0≤x≤2時,求函數(shù)V(x)的表達式;
(2)當(dāng)垃圾雜物密度x為多大時,垃圾雜物量(單位時間內(nèi)通過某段下水道的垃圾雜物量,單位:千克/小時)f(x)=xV(x)可以達到最大,求出這個最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】輪船從某港口將一些物品送到正航行的輪船上,在輪船出發(fā)時,輪船位于港口北偏西且與相距20海里的處,并正以30海里的航速沿正東方向勻速行駛,假設(shè)輪船沿直線方向以海里/小時的航速勻速行駛,經(jīng)過小時與輪船相遇.

(1)若使相遇時輪船航距最短,則輪船的航行速度大小應(yīng)為多少?

(2)假設(shè)輪船的最高航速只能達到30海里/小時,則輪船以多大速度及什么航行方向才能在最短時間與輪船相遇,并說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案