【題目】在某學校組織的一次籃球總投籃訓練中,規(guī)定每人最多投3次;在A處每投進一球得3分,在B處每投進一球得2分,如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃,否則投第3次.某同學在A處的命中率q1為0.25,在B處的命中率為q2 . 該同學選擇先在A處投一球,以后都在B處投,用ξ表示該同學投籃的訓練結束后所得的總分,其分布列為
ξ | 0 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P | 0.03 | P1 | P2 | P3 | P4 |
(1)求q2的值;
(2)求隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ;
(3)試比較該同學選擇在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大。
【答案】
(1)解:由題設知,“ξ=0”對應的事件為“在三次投籃中沒有一次投中”,
由對立事件和相互獨立事件性質,
知p(ξ=0)=(1﹣q1)(1﹣q2)2=0.03,
∵q1=0.25,
∴解得q2=0.8
(2)解:根據(jù)題意p1=p(ξ=2)=(1﹣q1) (1﹣q2)q2=0.75×2×0.2×0.8=0.24,
p2=p(ξ=3)= =0.25×(1﹣0.8)2=0.01,
p3=p(ξ=4)=(1﹣q1) =0.75×0.82=0.48,
p4=p(ξ=5)=q1q2+q1(1﹣q2)q2=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24,
因此Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63
(3)解:用C表示事件“該同學選擇第一次在A處投,以后都在B處投,得分超過3分”,
用D表示事件“該同學選擇都在B處投,得分超過3分”,
則P(C)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=P3+P4=0.48+0.24=0.72,
P(D)= =0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896,
故P(D)>P(C).
即該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大于該同學選擇第一次在A處投以后都在B處投得分超過3分的概率
【解析】(1)由題設知,“ξ=0”對應的事件為“在三次投籃中沒有一次投中”,由對立事件和相互獨立事件性質,能求出q2 . (2)分別求出p1=p(ξ=2),p2=p(ξ=3),p3=p(ξ=4),p4=p(ξ=5),由此能求出Eξ.(3)用C表示事件“該同學選擇第一次在A處投,以后都在B處投,得分超過3分”,用D表示事件“該同學選擇都在B處投,得分超過3分”,則P(C)=P(ξ=4)+P(ξ=5),P(D)= ,由此能求出結果.
【考點精析】通過靈活運用離散型隨機變量及其分布列,掌握在射擊、產品檢驗等例子中,對于隨機變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.離散型隨機變量的分布列:一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布,簡稱分布列即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (x>0,e為自然對數(shù)的底數(shù)),f'(x)是f(x)的導函數(shù). (Ⅰ)當a=2時,求證f(x)>1;
(Ⅱ)是否存在正整數(shù)a,使得f'(x)≥x2lnx對一切x>0恒成立?若存在,求出a的最大值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=2cos2x的圖象向右平移 個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0, ]和[2a, ]上均單調遞增,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[ , ]
B.[ , ]
C.[ , ]
D.[ , ]
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C的頂點為原點,焦點F與圓的圓心重合.
(1)求拋物線C的標準方程;
(2)設定點,當P點在C上何處時,的值最小,并求最小值及點P的坐標;
(3)若弦過焦點,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長為1,為中點,連接,則異面直線和所成角的余弦值為_____.
【答案】
【解析】
連接CD1,CM,由四邊形A1BCD1為平行四邊形得A1B∥CD1,即∠CD1M為異面直線A1B和D1M所成角,再由已知求△CD1M的三邊長,由余弦定理求解即可.
如圖,
連接,由,可得四邊形為平行四邊形,
則,∴為異面直線和所成角,
由正方體的棱長為1,為中點,
得,.
在中,由余弦定理可得,.
∴異面直線和所成角的余弦值為.
故答案為:.
【點睛】
本題考查異面直線所成角的求法,異面直線所成的角常用方法有:將異面直線平移到同一平面中去,達到立體幾何平面化的目的;或者建立坐標系,通過求直線的方向向量得到直線夾角或其補角.
【題型】填空題
【結束】
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【題目】在中,角所對的邊分別是,是的中點,,,面積的最大值為_____.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(12分)已知等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3=﹣3.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}的前k項和Sk=﹣35,求k的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的三個內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若向量 =(a+c,sinB), =(b﹣c,sinA﹣sinC),且 ∥ . (Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)設函數(shù)f(x)=tanAsinωxcosωx﹣cosAcos2ωx(ω>0),已知其圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為 ,現(xiàn)將y=f(x)的圖象上各點向左平移 個單位,再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在[0,π]上的值域.
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