【題目】平面直角坐標系中,橢圓 )的離心率是,拋物線 的焦點的一個頂點.

1)求橢圓的方程;

2)設上動點,且位于第一象限, 在點處的切線交于不同的兩點, ,線段的中點為,直線與過且垂直于軸的直線交于點

i)求證:點在定直線上;

ii)直線軸交于點,記的面積為, 的面積為,求的最大值及取得最大值時點的坐標.

【答案】(1) (2)①見解析②的最大值為,此時點的坐標為

【解析】試題分析:(I)運用橢圓的離心率公式和拋物線的焦點坐標,以及橢圓的a,b,c的關系,解得a,b,進而得到橢圓的方程;

)(i)設,運用導數(shù)求得切線的斜率和方程,代入橢圓方程,運用韋達定理,可得中點D的坐標,求得OD的方程,再令x= ,可得.進而得到定直線;

(ii)由直線l的方程為,令x=0,可得G(0, ),運用三角形的面積公式,可得, ,化簡整理,再t≥1),整理可得t的二次方程,進而得到最大值及此時P的坐標.

試題解析:

(1)由題意知,可得: .

因為拋物線的焦點為,所以,

所以橢圓C的方程為

(2)(Ⅰ)設,由可得,

所以直線的斜率為

因此直線的方程為,即.

,聯(lián)立方程

,得,

因此,

將其代入,

因為,所以直線方程為.

聯(lián)立方程,得點的縱坐標為,

即點在定直線

(Ⅱ)由(Ⅰ)知直線方程為

,所以,

,

所以

,

所以,

,則

,即時, 取得最大值,此時,滿足

所以點的坐標為,因此的最大值為,此時點的坐標為

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某重點高中擬把學校打造成新型示范高中,為此制定了學生“七不準”,“一日三省十問”等新的規(guī)章制度.新規(guī)章制度實施一段時間后,學校就新規(guī)章制度隨機抽取部分學生進行問卷調查,調查卷共有10個問題,每個問題10分,調查結束后,按分數(shù)分成5組:[50,60),60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并作出頻率分布直方圖與樣本分數(shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在[50,60),[90,100]的數(shù)據(jù)).

(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值;
(2)在選取的樣本中,從分數(shù)在70分以下的學生中隨機抽取2名學生進行座談會,求所抽取的2名學生中恰有一人得分在[50,60)內的概率.

5
6
7
8
9

3 4
1 2 3 4 5 6 7 8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù),其中,設兩曲線有公共點,且在公共點處的切線相同.

(1)若,求實數(shù)的值;

(2)用表示,并求實數(shù)的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中, =(4,﹣2,3), =(﹣4,1,0), (﹣6,2,﹣8),則該四棱錐的高為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD=CD=2AB=2,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,E為PC的中點,且DE=EC.

(1)求證:PA⊥面ABCD;
(2)設PA=a,若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈( , ),求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若b2+c2﹣a2= bc,且b= a,則下列關系一定不成立的是(
A.a=c
B.b=c
C.2a=c
D.a2+b2=c2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+6.
(1)當a=5時,解不等式f(x)<0;
(2)若不等式f(x)>0的解集為R,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4.(m∈R)
(1)證明:不論m取什么實數(shù),直線l與圓C恒相交;
(2)求直線l與圓C所截得的弦長的最短長度及此時直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知向量 =(3,﹣1), =(2,1) 求:
(1)| |.
(2)求x的值使x +3 與3 ﹣2 為平行向量.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案