【題目】已知橢圓C 的離心率為 ,點 在橢圓C上.直線l過點(1,1),且與橢圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M. (I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)點O為坐標(biāo)原點,延長線段OM與橢圓C交于點P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求出此時直線l的方程,若不能,說明理由.
【答案】解:(I)由題意得 ,解得a2=4,b2=1. 所以橢圓C的方程為 .
(Ⅱ)四邊形OAPB能為平行四邊形,分2種情況討論:
①當(dāng)直線l與x軸垂直時,直線l的方程為x=1滿足題意;
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l:y=kx+m,顯然k≠0,m≠0,A(x1 , y1),B(x2 , y2),M(xM , yM).
將y=kx+m代入 .得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0, .
故 , .
四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分,即 .
則 .
由直線l:y=kx+m(k≠0,m≠0),過點(1,1),得m=1﹣k.
則 ,
則(4k2+1)(8k﹣3)=0.
則 .滿足△>0.
所以直線l的方程為 時,四邊形OAPB為平行四邊形.
綜上所述:直線l的方程為 或x=1
【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意,可得 ,解得a2與b2的值,代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案;(Ⅱ)根據(jù)題意,分2種情況討論,(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時,分析可得直線l的方程為x=1滿足題意;(2)當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l為y=kx+m,分析A、B、M的坐標(biāo),將y=kx+m代入 .得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,由根與系數(shù)的關(guān)系可得M的坐標(biāo),進(jìn)而由四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分可得P的坐標(biāo),代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得 ,進(jìn)而分析可得 ,解可得k、m的值,即可得答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形BCDE的邊長為a,已知AB= BC,將△ABE沿邊BE折起,折起后A點在平面BCDE上的射影為D點,則翻折后的幾何體中有如下描述:
① AB與DE所成角的正切值是 ;
②AB∥CE
③VB﹣ACE體積是 a3;
④平面ABC⊥平面ADC.
其中正確的有 . (填寫你認(rèn)為正確的序號)
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【題目】已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且asinAsinB+bcos2A= a.
(1)求 ;
(2)若c2=a2+ b2 , 求角C.
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【題目】已知f(x)是奇函數(shù),且對于任意x∈R滿足f(2﹣x)=f(x),當(dāng)0<x≤1時,f(x)=lnx+2,則函數(shù)y=f(x)在(﹣2,4]上的零點個數(shù)是( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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【題目】小王為了鍛煉身體,每天堅持“健步走”,并用計步器進(jìn)行統(tǒng)計.小王最近8天“健步走”步數(shù)的頻數(shù)分布直方圖(圖1)及相應(yīng)的消耗能量數(shù)據(jù)表(表1)如下:
健步走步數(shù)(前步) | 16 | 17 | 18 | 19 |
消耗能量(卡路里) | 400 | 440 | 480 | 520 |
(Ⅰ)求小王這8天“健步走”步數(shù)的平均數(shù);
(Ⅱ)從步數(shù)為17千步,18千步,19千步的幾天中任選2天,求小王這2天通過“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率.
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【題目】已知向量 =(4,5cosα), =(3,﹣4tanα),α∈(0, ), ⊥ .
(1)求| ﹣ |;
(2)求cos( +α)﹣sin(α﹣π).
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【題目】數(shù)列{an}中,已知對任意n∈N* , a1+a2+a3+…+an=3n﹣1,則a12+a22+a32+…+an2等于( )
A.(3n﹣1)2
B.
C.9n﹣1
D.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC三個頂點坐標(biāo)為A(7,8),B(10,4),C(2,﹣4).
(1)求BC邊上的中線所在直線的方程;
(2)求BC邊上的高所在直線的方程.
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【題目】設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列,sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列,則這個三角形的形狀是( )
A.直角三角形
B.鈍角三角形
C.等腰直角三角形
D.等邊三角形
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