Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并證明在定義域上是奇函數(shù)；

（Ⅱ）若 恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當時，試比較與的大小關(guān)系．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，在定義域上是奇函數(shù)。

（Ⅱ）

（Ⅲ）時,成立.

【解析】

試題（1）判斷函數(shù)奇偶性的方法：1、先求出函數(shù)定義域若關(guān)于原點對稱,則進行第二步；若不關(guān)于原點對稱則為非奇非偶函數(shù)2、再判斷與的關(guān)系，如果相等則是偶函數(shù)，如若互為相反數(shù)則是奇函數(shù)，若不能確定則為非奇非偶函數(shù)（2）對于恒成立的問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1），（2）（3）證明不等式可以利用作差法，也可構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解決

試題解析：（Ⅰ）由，解得或，

∴ 函數(shù)的定義域為

當時，

∴在定義域上是奇函數(shù)。

（Ⅱ）由時，恒成立，

∴

∴在成立

令，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知

時函數(shù)單調(diào)遞增，時函數(shù)單調(diào)遞減，

時，

∴

（Ⅲ）=

構(gòu)造函數(shù)，

當時，，∴在單調(diào)遞減，

當（）時， .