【題目】如圖,點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn), 平面, ,, .
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)設(shè)中點(diǎn), 交于,連, ,可先證明平面,再證明四邊形是平行四邊形,則,從而平面,進(jìn)而利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論;(Ⅱ)以, , 所在直線分別為軸, 軸, 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量,利用空間向量夾角余弦公式求解即可.
試題解析:(Ⅰ)證明:取中點(diǎn),連交于,連, .
在菱形中, ,
∵平面, 平面,
∴,
又, , 平面,
∴平面,
∵, 分別是, 的中點(diǎn),
∴, ,
又, ,
∴, ,
∴四邊形是平行四邊形,則,
∴平面,
又平面,
∴平面平面.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得平面,則, , 兩兩垂直,以, , 所在直線分別為軸, 軸, 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),則, , , ,
, , ,
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則即
取,得, ,∴,
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
同理得, .
∴,
∴二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長(zhǎng)度.已知直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與曲線相交于,兩點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn), 連線的斜率之積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)點(diǎn), 是軌跡上相異的兩點(diǎn).
(Ⅰ)過(guò)點(diǎn), 分別作拋物線的切線, , 與兩條切線相交于點(diǎn),證明: ;
(Ⅱ)若直線與直線的斜率之積為,證明: 為定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在正四棱錐中, 分別是
的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論中不恒成立的是( 。
A. 與異面 B. ∥面
C. ⊥ D. ∥
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn), 平面, ,, .
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)事件表示“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根”.
(1)若、,求事件發(fā)生的概率;
(2)若、,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=2,點(diǎn)E、F分別在邊AB、DC上,M為AD的中點(diǎn),且 =0,則△MEF的面積的取值范圍為( )
A.
B.[1,2]
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某車間共有名工人,隨機(jī)抽取6名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù).
(Ⅰ) 根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值;
(Ⅱ) 日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人,根據(jù)莖葉圖推斷該車間名工人中有幾名優(yōu)秀工人;
(Ⅲ) 從該車間名工人中,任取2人,求恰有1名優(yōu)秀工人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn), 分別在軸, 軸上運(yùn)動(dòng), , 為平面上一點(diǎn), ,過(guò)點(diǎn)作平行于軸交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡曲線的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,平行于軸的兩條直線, 分別交曲線于, 兩點(diǎn)(直線不過(guò)),交于, 兩點(diǎn).若線段中點(diǎn)的軌跡方程為,求與的面積之比.
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