（2012•遼寧）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A作兩圓的切線(xiàn)分別交兩圓于C、D兩點(diǎn)，連接DB并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E．證明：
（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；
（Ⅱ）AC=AE．
分析：（I）利用圓的切線(xiàn)的性質(zhì)得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，從而有△ACB∽△DAB，
AC
AD
=
AB
BD
，由此得到所證．
（II）利用圓的切線(xiàn)的性質(zhì)得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD，
AE
AD
=
AB
BD
，AE•BD=AD•AB，再結(jié)合（I）的結(jié)論AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．
解答：證明：（I）∵AC與⊙O'相切于點(diǎn)A，故∠CAB=∠ADB，
同理可得∠ACB=∠DAB，
∴△ACB∽△DAB，∴
AC
AD
=
AB
BD
，
∴AC•BD=AD•AB．
（II）∵AD與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠AED=∠BAD，
又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，
∴
AE
AD
=
AB
BD
，∴AE•BD=AD•AB．
再由（I）的結(jié)論AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，利用兩個(gè)三角形相似得到成比列線(xiàn)段，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
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（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；
（Ⅱ）AC=AE．

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