已知球O的表面上有P、A、B、C四點,且PA、PB、PC兩兩互相垂直,若PA=PB=PC=a,求這個球的表面積和體積.

解析:設(shè)過P、A、B的平面截球所得的截面圓為⊙O1,PO1與球面的另一交點為D.

∵PB⊥PA,

∴AB是⊙O1的直徑且AB==.

∵PC⊥PA,PC⊥PB,

∴PC⊥平面PAB.

又OO1⊥平面PAB,∴OO1∥PC.

過OO1、PC作平面α,平面α截球面為大圓O.則直線DP為平面α和平面PAB的交線，點O1∈PD,連結(jié)CD.在⊙O中,

∵PC⊥PD,∠CPD為直角,

∴CD為⊙O的直徑.

設(shè)⊙O的半徑為R,在Rt△CPD中,

CD=,即2R=,

∴R=.

∴S球=4πR2=3πa2,V球=πR3=πa3.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

已知球O的表面上有P、A、B、 C四點，且PA、PB、PC兩兩互相垂直，若 PA=PB=PC=a，求這個球的表面積和體積．

 

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