Question

某加工廠(chǎng)需定期購(gòu)買(mǎi)原材料，已知每公斤原材料的價(jià)格為1.5元，每次購(gòu)買(mǎi)原材料需支付運(yùn)費(fèi)600元．每公斤原材料每天的保管費(fèi)用為0.03元，該廠(chǎng)每天需要消耗原材料400公斤，每次購(gòu)買(mǎi)的原材料當(dāng)天即開(kāi)始使用（即有400公斤不需要保管）．
（1）設(shè)該廠(chǎng)每天購(gòu)買(mǎi)一次原材料，試寫(xiě)出每次購(gòu)買(mǎi)的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求該廠(chǎng)多少天購(gòu)買(mǎi)一次原材料才能使平均每天支付的總費(fèi)用y最少，并求出這個(gè)y最小值；
（3）若一次購(gòu)買(mǎi)原材料不少于6噸時(shí)其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠（即為原價(jià)的85%）．問(wèn)按此優(yōu)惠條件，該廠(chǎng)多少天購(gòu)買(mǎi)一次原材料才能使每天支付的總費(fèi)用y最少，并求出這個(gè)y的最少（�。┲担�

Answer 1

分析：（1）由題意知每次購(gòu)買(mǎi)的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用y₁=每公斤每天的保管費(fèi)用×每天需要消耗原材料×使用的天數(shù)，由此可得函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）表示出購(gòu)買(mǎi)一次原材料的總的費(fèi)用，除以天數(shù)x后利用基本不等式求出y的最小值及此時(shí)的x的值；
（3）由題意可知，享受八五折優(yōu)惠至少15天購(gòu)買(mǎi)一次原材料，求出購(gòu)買(mǎi)一次原材料的總的費(fèi)用，除以天數(shù)x得到夠買(mǎi)一次原材料平均每天支付的總費(fèi)用y關(guān)于x的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，由單調(diào)性求最值．

解答：解：（1）每次購(gòu)買(mǎi)原材料后，當(dāng)天用掉的400公斤原材料不需要保管費(fèi)用，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天（也就是下次購(gòu)買(mǎi)原材料的前一天）用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天．
∴每次購(gòu)買(mǎi)的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用：
y₁=400×O．03[1+2+3+…+（x-1）]=6x²-6x（元）；   
（2）由上問(wèn)可知，購(gòu)買(mǎi)一次原材料的總的費(fèi)用為6x²-6x+600+1.5×400x元，
∴購(gòu)買(mǎi)一次原材料平均每天支付的總費(fèi)用：
y=

1

x

(6x2-6x+600)+1.5×400=

600

x

+6x+594．
∴y≥2

600 x •6x

+594=714．
當(dāng)且僅當(dāng)

600

x

=6x，即x=10時(shí)，取等號(hào)．
∴該廠(chǎng)10天購(gòu)買(mǎi)一次原材料可以使平均每天支付的總費(fèi)用y最少，為714元；
（3）按此優(yōu)惠條件，則至少15天購(gòu)買(mǎi)一次原材料，
又由上問(wèn)可知，按此優(yōu)惠條件購(gòu)買(mǎi)一次原材料的總費(fèi)用為：
6x²-6x+600+0.85×1.5×400x 元，其中x≥15．
∴夠買(mǎi)一次原材料平均每天支付的總費(fèi)用：
y=

1

x

(6x2-6x+600)+0.85×1.5×400=

600

x

+6x+504 (x≥15)．
∴y′=-

600

x2

+6．
當(dāng)x≥15時(shí)，y′＞0，即y=

600

x

+6x+504在[15，+∞）上為增函數(shù)．
∴當(dāng)x=15時(shí)，y取最小值，為

600

15

+6×15+504=634（元）．
∴按八五折優(yōu)惠，該廠(chǎng)15天購(gòu)買(mǎi)一次原材料才能使每天支付的總費(fèi)用y最少，最少值為634元．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)關(guān)系的能力，考查了簡(jiǎn)單的建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，訓(xùn)練了導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．是中檔題．