如圖，△PAC與△ABC是均以AC為斜邊的等腰直角三角形，AC=4，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，G為OC的中點，且PO⊥平面ABC．
（1）證明：FE∥平面BOG；
（2）求二面角EO-B-FG的余弦值．
（1）證明：以O點為坐標原點，
OB
，
OC
，
OP
的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系數(shù)，
則O（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，-2，0），P（0，0，2），G（0，1，0），E（0，-1，1），F(xiàn)（1，0，1）．
∴
OE
=(0，-1，1)，
OB
=(2，0，0)，
FG
=(-1，1，-1)．
設平面OBE的法向量為
n
=(x，y，z)，
則
n
•
OE
=-y+z=0
n
•
OB
=2x=0
，令y=1，解得
n
=(0，1，1)，
∴
FG
•
n
=0+1-1=0，∴
FG
⊥
n
，
∵G∉平面BOE，∴FG∥平面BOE；
（2）由 （1）的證法二可知．平面OBE的法向量為
n
=(0，1，1)．
設平面BGF的法向量為
m
=(a，b，c)，又
GB
=(2，-1，0)，
則
GB
•
m
=2a-b=0
FG
•
n
=-a+b-c=0
，令c=1，則
m
=(1，2，1)，
設二面角EO-B-FG的平面角為θ，則|cosθ|=
|
n
•
m
|
|
n
||
m
|
=
3
2
×
6
=
3
2

由由圖易知二面角EO-B-FG的平面角為銳角，
∴二面角EO-B-FG的余弦值為
3
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

知a,b為不垂直的異面直線,α是一個平面,則a、b在α上的射影有可能是______________.
①兩條平行直線;
②兩條互相垂直的直線;
③同一條直線;
④一條直線及其外一點.
在上面結(jié)論中,正確的編號是_________.(寫出所有正確結(jié)論的編號)

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

點P在平面ABC的射影為O，且PA、PB、PC兩兩垂直，那么O是△ABC的(    )
A．內(nèi)心B．外心
C．垂心D．重心

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若平面α與β的法向量分別是
a
=(2，4，-3)，
b
=(-1，2，2)，則平面α與β的位置關系是（　�。�
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．無法確定

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在空間直角坐標系中，正方體棱長為2，點E是棱AB的中點，點F（0，y，z）是正方體的面AA1D1D上點，且CF⊥B1E，則點F（0，y，z）滿足方程（　�。�
A．y-z=0B．2y-z-1=0C．2y-z-2=0D．z-1=0

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上動點，F(xiàn)是AB中點，AC=1，BC=2，AA1=4．
（1）當E是棱CC1中點時，求證：CF∥平面AEB1；
（2）在棱CC1上是否存在點E，使得二面角A-EB1-B的余弦值是
2
17
17
，若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

底面ABCD為矩形的四棱錐P-ABCD中，AB=
3
，BC=1，PA=2，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E為PD的中點
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥面PAC，并求出點N到AB和AP的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，則當△AEF的面積最大時，tanθ的值為（　�。�
A．2B．
1
2
C．
2
D．
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．則A1B與平面ABD所成角的余弦值（　�。�
A．
1
2
B．
3
2
C．
7
3
D．
6
3

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