(理)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R)滿足:對任意實數(shù)x,都有f(x)≥x,f(-2)=0,且當x∈(1,3)時,有f(x)≤
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(x+2)2
成立.
(1)求f(x)的表達式.
(2)g(x)=4f′(x)-sinx-2數(shù)列{an}滿足:an+1=g(an),0<a1<1,n=1,2,3,證明:(Ⅰ)0<an+1<an<1;(Ⅱ)an+1
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an
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分析:(1)根據(jù)任意實數(shù)x,都有f(x)≥x,知f(2)≥2成立,當x∈(1,3)時,有f(x)≤
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(x+2)2成立,取x=2時,f(2)≤2成立,從而f(2)=2,再利用f(-2)=0,即可求得b的值.利用函數(shù)f(x)≥x恒成立,通過判別式推出a的值,即可求出函數(shù)的解析式.
(2)(Ⅰ)利用數(shù)學歸納法證明0<an<1,通過函數(shù)的導數(shù)證明0<an+1<an<1即可.
(Ⅱ)通過函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性,然后證明所證不等式即可.
解答:解:(1)由條件對任意實數(shù)x,都有f(x)≥x,知f(2)≥2成立
∵當x∈(1,3)時,有f(x)≤
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(x+2)2成立,
∴取x=2時,f(2)≤
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8
(2+2)2=2成立,
∴f(2)=2.
∴4a+2b+c=2①
∵f(-2)=0
∴4a-2b+c=0②
由①②可得,∴4a+c=2b=1,
∴b=
1
2
,c=1-4a,又f(x)≥x恒成立,即ax2+(b-1)x+c≥0恒成立,
∴a>0,△=(
1
2
-1)2-4a(1-4a)≤0

可得a=
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8
,∵c=1-4a,
∴c=
1
2
,
∴a=
1
8
,b=
1
2
,c=
1
2

∴f(x)=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2

(2):(Ⅰ)證明:0<an<1,
①當n=1時,0<a1<1,成立;
②假設n=k時,0<ak<1,
那么,ak+1=ak-sinak
∵0<ak<1,∴ak-sinak∈(0,1).即ak+1∈(0,1);
由①②可知,0<an<1,n=1,2,3,…成立.
下面證明an>an+1
g(x)=4f′(x)-sinx-2=x-sinx,
g′(x)=1-cosx>0,∴g(x)是增函數(shù),
g(x)≥g(0)=0.
當x∈[0,1)時,sinan>0,an+1=an-sinan,
∴an>an+1
∴0<an+1<an<1;
(Ⅱ)設h(x)=x-sinx-
1
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x3
,易證h(x)=x-sinx-
1
6
x3

在x∈[0,1)時單調遞減,
所以,h(x)<h(0)=0,
∴x-sinx
1
6
x3
,an∈(0,1),
∴an+1
1
6
an
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點評:本題重點考查二次函數(shù)的解析式,考查賦值思想,對分析轉化的推理能力要求較高,考查數(shù)學歸納法以及函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性的方法.
練習冊系列答案
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已知二次函數(shù)f(x)=x2+x的定義域D 恰是不等式 f(-x)+f(x)≤2|x|的解集,其值域為A.函數(shù) g(x)=x3-3tx+
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t
的定義域為[0,1],值域為B.
(1)求f (x) 的定義域D和值域 A;
(2)(理) 試用函數(shù)單調性的定義解決下列問題:若存在實數(shù)x0∈(0,1),使得函數(shù) g(x)=x3-3tx+
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t
在[0,x0]上單調遞減,在[x0,1]上單調遞增,求實數(shù)t的取值范圍并用t表示x0
(3)(理) 是否存在實數(shù)t,使得A⊆B成立?若存在,求實數(shù)t 的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(4)(文) 是否存在負實數(shù)t,使得A⊆B成立?若存在,求負實數(shù)t 的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(5)(文) 若函數(shù)g(x)=x3-3tx+
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2
t
在定義域[0,1]上單調遞減,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2007•閔行區(qū)一模)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,c>0)的圖象與x軸有兩個不同的公共點,且有f(c)=0,當0<x<c時,恒有f(x)>0.
(1)(文)當a=1,c=
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時,求出不等式f(x)<0的解;
(2)(理)求出不等式f(x)<0的解(用a,c表示);
(3)若以二次函數(shù)的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8,求a的取值范圍;
(4)若f(0)=1,且f(x)≤m2-2km+1,對所有x∈[0,c],k∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(09年宜昌一中12月月考理)(14分)

已知二次函數(shù)。

(1)若對任意x1x2∈R,且,都有,求證:關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根且必有一個根屬于();

    (2)若關于x的方程在()的根為m,且成等差數(shù)列,設函數(shù)f (x)的圖象的對稱軸方程為,求證:。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,c>0)的圖象與x軸有兩個不同的公共點,且有f(c)=0,當0<x<c時,恒有f(x)>0.
(1)(文)當a=1,數(shù)學公式時,求出不等式f(x)<0的解;
(2)(理)求出不等式f(x)<0的解(用a,c表示);
(3)若以二次函數(shù)的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8,求a的取值范圍;
(4)若f(0)=1,且f(x)≤m2-2km+1,對所有x∈[0,c],k∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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