Question

【題目】如圖，已知三棱錐中，平面平面，，，．

（1）證明：；

（2）求直線和平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連、、，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，利用面面垂直的性質(zhì)可得出平面，進(jìn)而得出，再證明出，可得出平面，由此可得出；

（2）過點(diǎn)作垂足為點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，計(jì)算出，可得出點(diǎn)到平面的距離為，由此可計(jì)算出直線和平面所成角的正弦值為，進(jìn)而得解.

（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連、、.

，為的中點(diǎn)，，

又，為的中點(diǎn)，，，

又 ，為的中點(diǎn)，，

又 平面平面，交線為，平面，平面，

平面，，

又，平面，平面，；

（2）由（1）知平面，平面，平面平面，

過點(diǎn)作垂足為點(diǎn)，

平面平面，平面，平面，

所以，即是點(diǎn)到平面的距離，

平面，平面，，

，，，

，，

又是的中點(diǎn)，點(diǎn)到面的距離，

與面所成角的正弦值為.