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【題目】個質數構成公差為的等差數列,且.求證

(1)是質數時,;

(2)時,.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)因為 ,所以,都是大于的質數.因此,每一個都不能被整除.

除時只能取個不同的余數,根據抽屜原理,至少有兩個數被除的余數相同.設這兩個數為、.于是,

能被整除.

,為質數,所以,.

因此,.

(2)設15個質數構成公差為的等差數列.由于這15個質數必都是奇數,所以,公差為偶數,即.

由其中的,3個質數成等差數列,,根據(1)中的結論,得.

,,,5個質數成等差數列,,根據(1)中的結論,得.

,,可得.

因此,由.為質數,所以,.

于是,由7個質數成等差數列,,根據(1)中的結論,得.

同理,由11個質數成等差數列,根據(1)中的結論,得.

13個質數成等差數列, ,根據(1)中的結論,得.

因為,所以,,

.

.

練習冊系列答案
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