Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B且，如圖．

（1）求橢圓的方程；

（2）若，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，試確定的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的方程為；（2）的取值范圍為．

【解析】

試題分析：（1）首先寫出，，，由及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可得方程，又由橢圓中關(guān)系得，解這個(gè)方程組得的值，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，，此時(shí)，，＝；若直線斜率存在，設(shè)，代入橢圓方程消去得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，把表示成斜率的函數(shù)，求此函數(shù)的值域，即得的取值范圍．

試題解析：（1）由已知，，，，則由得：．

∵，∴，解得，∴，∴橢圓． 4分

（2）①若直線斜率不存在，則，此時(shí)，，＝；

②若直線斜率存在，設(shè)，，則由消去得：，∴，，∴

＝．∵，∴，∴，∴．

綜上，的取值范圍為． 13分

考點(diǎn)：1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)非常及其幾何性質(zhì)；2．直線和橢圓的位置關(guān)系；3．利用向量的數(shù)量積運(yùn)算解決橢圓中的取值范圍問題．