Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，O是AD的中點(diǎn).

（1）在線段PA上找一點(diǎn)E，使得平面PCD，并證明；

（2）在（1）的條件下，若，求平面OBE與平面POC所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）E是線段PA的中點(diǎn)，證明詳見解析；（2）.

【解析】

（1）是線段的中點(diǎn)；連接，，，證明平面平面后即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，表示出、、、、的坐標(biāo)后，分別求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用即可得解.

（1）是線段的中點(diǎn)，

證明：連接，，，

是的中點(diǎn)，，

又平面，平面，

平面，

又底面是直角梯形，，，

又平面，平面，

平面，

平面，平面，，

平面平面，

又平面，

平面.

（2）平面平面，，

，平面，且，，

以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

得，，，，，

得，，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則，得，取，

得，

又易知是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，

則，

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.