Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表達(dá)式，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S_n=2n-a_n，利用遞推公式，分別令n=1，2，3，4，求出a₁，a₂，a₃，a₄，
（2）由（1）猜想an=2-

1

2n-1

（n∈N^*）．利用a_n=S_n-S_n-1，整理出a_n的遞推式，進(jìn)而構(gòu)造等比數(shù)列{a_n-2}中求出a_n．

解答：解：（1）因?yàn)镾_n=2n-a_n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，n∈N^*（1分）
所以，當(dāng)n=1時(shí)，有a₁=2-a₁，解得a1=1=2-

1

20

；               （2分）
當(dāng)n=2時(shí)，有a₁+a₂=2×2-a₂，解得a2=

3

2

=2-

1

21

；            （3分）
當(dāng)n=3時(shí)，有a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，解得a3=

7

4

=2-

1

22

；        （4分）
當(dāng)n=4時(shí)，有a₁+a₂+a₃+a₄=2×4-a₄，解得a4=

15

8

=2-

1

23

．（5分）
（2）猜想an=2-

1

2n-1

（n∈N^*）                                （9分）
由S_n=2n-a_n（n∈N^*），得S_n-1=2（n-1）-a_n-1（n≥2），（10分）
兩式相減，得a_n=2-a_n+a_n-1，即an=

1

2

an-1+1（n≥2）．（11分）
兩邊減2，得an-2=

1

2

(an-1-2)，（12分）
所以{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
故an-2=-1×(

1

2

)n-1，（13分）
即an=2-

1

2n-1

（n∈N^*）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查歸納推理及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．屬于中檔題．