Question

設(shè)平面向量，，函數(shù)。

（Ⅰ）求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

（Ⅱ）當,且時,求的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）值域是；單調(diào)增區(qū)間為；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：根據(jù)的特點，利用平面向量的數(shù)量積的運算法則化簡，然后利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，從而確定出的解析式，

根據(jù)、數(shù)量積公式和三角函數(shù)恒等變換，求出，在根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域；

②根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為，列出不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范圍即為的遞增區(qū)間；

③根據(jù)，代入的解析式中，得到的值，根據(jù)的范圍求出的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出的值，把所求的式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，將和的值代入即可求出值．

試題解析：依題意 （2分）

（4分）

（Ⅰ） 函數(shù)的值域是； （5分）

令，解得 （7分）

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為. （8分）

（Ⅱ）由得,

因為所以得, （10分）

（12分）.

考點：1. 正弦函數(shù)的定義域和值域、正弦函數(shù)的單調(diào)性；2. 三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值；3.平面向量數(shù)量積的運算.