【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式恒成立;
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)令,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的最大值,從而證出結(jié)論即可;
解析:
(1),
由f'(x)<0,得2x2﹣x﹣1>0.又x>0,所以x>1,
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞),函數(shù)f(x)的單增區(qū)間為(0,1).
(2)令,
所以,
因?yàn)閍≥2,所以,
令g'(x)=0,得,所以當(dāng),當(dāng)時(shí),g'(x)<0,
因此函數(shù)g(x)在是增函數(shù),在是減函數(shù),
故函數(shù)g(x)的最大值為,
令,因?yàn)?/span>,又因?yàn)閔(a)在a∈(0,+∞)是減函數(shù),
所以當(dāng)a≥2時(shí),h(a)<0,即對于任意正數(shù)x總有g(shù)(x)<0,
所以關(guān)于x的不等式恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在邊長為12的正方形AA'A1'A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA1'分別交BB1,CC1于點(diǎn)P,Q,將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得A'A1'與AA1重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1.
(1)求三棱錐P﹣ABC與三棱錐Q﹣PAC的體積之和;
(2)求直線AQ與平面BCC1B1所成角的正弦值;
(3)求三棱錐Q﹣ABC的外接球半徑r.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐V-ABC中,平面VAB平面ABC, VAB為等邊三角形,ACBC且AC=BC=,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn)。
(I)求證:VB//平面MOC;
(II)求證:平面MOC平面VAB;
(III)求三棱錐V-ABC的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三年級實(shí)驗(yàn)班與普通班共1000名學(xué)生,其中實(shí)驗(yàn)班學(xué)生200人,普通班學(xué)生800人,現(xiàn)將高三一模考試數(shù)學(xué)成績制成如圖所示頻數(shù)分布直方圖,按成績依次分為5組,其中第一組([0, 30)),第二組([30, 60)),第三組([60, 90)),的頻數(shù)成等比數(shù)列,第一組與第五組([120, 150))的頻數(shù)相等,第二組與第四組([90, 120))的頻數(shù)相等。
(1)求第三組的頻率;
(2)已知實(shí)驗(yàn)班學(xué)生成績在第五組,在第四組,剩下的都在第三組,試估計(jì)實(shí)驗(yàn)班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均分;
(3)在(2)的條件下,按分層抽樣的方法從第5組中抽取5人進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流,再從這5人中隨機(jī)抽取3人在全校師生大會上作經(jīng)驗(yàn)報(bào)告,求抽取的3人中恰有一個(gè)普通班學(xué)生的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊.若acosB=3,bcosA=l,且A﹣B=
(1)求邊c的長;
(2)求角B的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓錐曲線的方程為.
()在所給坐標(biāo)系中畫出圓錐曲線.
()圓錐曲線的離心率__________.
()如果頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線與圓錐曲線有一個(gè)公共焦點(diǎn),且過第一象限,則
(i)交點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.
(ii)拋物線的方程為__________.
(iii)在圖中畫出拋物線的準(zhǔn)線.
()已知矩形各頂點(diǎn)都在圓錐曲線上,則矩形面積的最大值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過拋物線的焦點(diǎn),斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn),且.
(1)求該拋物線的方程;
(2)已知拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條弦和,且,判斷直線是否過定點(diǎn)?并說明理由.
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