Question

對于三次函數(shù)。

定義：（1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”；

定義：（2）設(shè)為常數(shù)，若定義在上的函數(shù)對于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，都有成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱。

己知，請回答下列問題：

（1）求函數(shù)的“拐點(diǎn)”的坐標(biāo)

（2）檢驗(yàn)函數(shù)的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論（不必證明）

（3）寫出一個(gè)三次函數(shù)，使得它的“拐點(diǎn)”是（不要過程）

 

Answer 1

（1）“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是;

（2）一般地，三次函數(shù)的“拐點(diǎn)”是，它就是的對稱中心。

或者：任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個(gè)三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù).

（3）或.

【解析】

試題分析：（1）依題意，計(jì)算 ，.

由 ，得，再據(jù)，可得“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是.

（2）由(1)知“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是.

根據(jù)定義（2），考查

=

==，

作出結(jié)論：

一般地，三次函數(shù)的“拐點(diǎn)”是，它就是的對稱中心.

或者：任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個(gè)三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù).

（3）根據(jù)（2）寫出或?qū)懗鲆粋�(gè)具體的函數(shù),如或.

試題解析：（1）依題意，得： ，

。 2分

由 ，即�！�，又 ，

∴的“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是.。 4分

（2）由(1)知“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是.

而=

==，

由定義(2)知：關(guān)于點(diǎn)對稱。 8分

一般地，三次函數(shù)的“拐點(diǎn)”是，它就是的對稱中心. 10分

（或者：任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個(gè)三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù) ）都可以給分

（3）或?qū)懗鲆粋�(gè)具體的函數(shù),如或. 12分

考點(diǎn)：新定義問題，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，函數(shù)圖象的對稱性.