【題目】設，，且G具有下列兩條性質：（1）對任何，恒有；（2）.試證明：G中奇數(shù)的個數(shù)是4的倍數(shù)，且G中所有數(shù)的平方和為定值.

【答案】見解析

【解析】

注意到200+1=199+2=198+3=…=101+100=201，而

所以可將集合E劃分為100個子集：

則G的元素只能在這100個子集中各取1個.

為了討論G中奇數(shù)的個數(shù)，再將這100個子集分成兩類：

一類的特征是：每個子集中，偶數(shù)是4k型，奇數(shù)是4k+1型的

有

另一類的特征是：每個子集中，偶數(shù)是4k+2型，奇數(shù)是4k+3型的

有

設G的100個元素中有4k+1型的奇數(shù)x個，4k+3型的奇數(shù)y個

則G中有4K型的偶數(shù)50-x個，4k+2型的偶數(shù)50-y個

于是G中奇數(shù)的個數(shù)共有x+y.

由

故.

下面證明G中所有數(shù)的平方和為定值.

設有兩個符合題設條件的不同集合

和

若中有100-k個元素，其和為m

則關于的補集有k個元素，從小到大排成

關于的補集也有k個元素，從大到小排成

于是必有

故

即

所以，G中所有數(shù)的平方和為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右頂點分別為，左焦點為，已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點的直線與該橢圓交于兩點，且線段的中點恰為點，求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）設，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（3）設，求證：當時，函數(shù)恰有2個不同零點.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，已知為圓的直徑，點為線段上一點，且，點為圓上一點，且．點在圓所在平面上的正投影為點，．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】關于統(tǒng)計數(shù)據的分析，有以下幾個結論：①將一組數(shù)據中的每個數(shù)據都減去同一個數(shù)后，方差沒有變化；②繪制頻率分布直方圖時，各小長方形的面積等于相應各組的組距；③一組數(shù)據的方差一定是正數(shù)；④如圖是隨機抽取的200輛汽車通過某一段公路時的時速分布直方圖，根據這個直方圖，可以得到時速在的汽車大約是60輛.則這4個結論中錯誤的個數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】

11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束.

（1）求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某班主任對全班50名學生學習積極性和對待班級工作的態(tài)度進行了調查，統(tǒng)計數(shù)據如表1所示.

表1

積極參加班級工作

不積極參加班級工作

合計

學習積極性高

17

8

25

學習積極性一般

5

20

25

合計

22

28

50

（1）如果隨機從該班抽查一名學生，抽到積極參加班級工作的學生的概率是多少？抽到不積極參加班級工作且學習積極性一般的學生的概率是多少？

（2）試運用獨立性檢驗的思想方法學生的學習積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關系？并說明理由.

參考表2

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

0.05

0.010

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.8

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】當今的學校教育非常關注學生身體健康成長，某地安順小學的教育行政主管部門為了了解小學生的體能情況，抽取該校二年級的部分學生進行兩分鐘跳繩次數(shù)測試，測試成績分成，，，四個部分，并畫出頻率分布直方圖如圖所示，圖中從左到右前三個小組的頻率分別為，，，且第一小組從左向右數(shù)的人數(shù)為5人．

求第四小組的頻率；

求參加兩分鐘跳繩測試的學生人數(shù)；

若兩分鐘跳繩次數(shù)不低于100次的學生體能為達標，試估計該校二年級學生體能的達標率用百分數(shù)表示

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調查專項附加扣除的享受情況.

項目

員工

A

B

C

D

E

F

子女教育

○

○

×

○

×

○

繼續(xù)教育

×

×

○

×

○

○

大病醫(yī)療

×

×

×

○

×

×

住房貸款利息

○

○

×

×

○

○

住房租金

×

×

○

×

×

×

贍養(yǎng)老人

○

○

×

×

×

○

（1）應從老、中、青員工中分別抽取多少人？

（2）抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F.享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.

①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；

②設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件M發(fā)生的概率.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案