Question

已知焦點在y軸上的橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1經過A（1，0）點，且離心率為

3

2

．
（I）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）過拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）上P點的切線與橢圓C₁交于兩點M、N，記線段MN與PA的中點分別為G、H，當GH與y軸平行時，求h的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1經過A（1，0）點，且離心率為

3

2

，建立方程，即可求得橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設P（t，t²+h），利用導數可得MN的方程為 y=2tx-t²+h，代入橢圓方程，消元可得 4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，從而△=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0；設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用線段MN與PA的中點分別為G、H，GH與y軸平行，可得MN中點橫坐標與線段PA的中點橫坐標相等，可建立等式，從而可得函數關系式，再利用基本不等式，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得

1 b2 =1 c a = 3 2 a2=b2+c2.

，解得a=2，b=1，（2分）
所以橢圓C₁的方程為 x2+

y2

4

=1．（4分）
（Ⅱ）設P（t，t²+h），由 y′=2x，
拋物線C₂在點P處的切線的斜率為 k=y′|_x=t=2t，
所以MN的方程為 y=2tx-t²+h，（5分）
代入橢圓方程得 4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
化簡得 4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0
又MN與橢圓C₁有兩個交點，故△=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0①
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點橫坐標為x₀，則x0=

x1+x2

2

=

t(t2-h)

2(1+t2)

，（8分）
設線段PA的中點橫坐標為x3=

1+t

2

，
由已知得x₀=x₃即 

t(t2-h)

2(1+t2)

=

1+t

2

，②（10分）
顯然t≠0，h=-(t+

1

t

+1)③
當t＞0時，t+

1

t

≥2，當且僅當t=1時取得等號，此時h≤-3不符合①式，故舍去；
當t＜0時，(-t)+(-

1

t

)≥2，當且僅當t=-1時取得等號，此時h≥1，滿足①式．
綜上，h的最小值為1．（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查函數關系式的建立，考查利用基本不等式求函數的最值，解題的關鍵是確定函數關系式，屬于中檔題．